(好久没写知乎文章了，又不知道该写什么，就随便水一水吧)

二项分布：

次试验，每次试验有

的概率出现目标事件，记

为

次试验后出现目标事件的次数；

负二项分布：若干次试验，每次试验有

的概率出现目标事件，记

为出现

次目标事件所需要的总试验次数。

首先我们先用最暴力的方法来直接推导它们的期望和方差。

直接算E(X)和Var(X)

二项分布的pmf：

那么：

把

提出来，容易观察得出剩下那一部分也是一个二项分布的pmf，只不过

变成了

，

变成了

，那么它求和后结果为1.

因此：

为计算

，我们先计算

：

右边两个求和，是将

拆成

的结果，显然第一个求和为二项分布

的均值，第二个求和为二项分布pmf的和，即1。

因此：

那么：

现在我们再来算负二项分布的

和

。

负二项分布的pmf：

那么：

显然右边的求和式对应着负二项分布

为

时的pmf，因此求和为1.

故

另外，

因此：

(其实，在推导中pmf和为1的隐藏结论是需要通过级数去推的，这也意味着上述式子可以化成特殊级数形式，读者可以自行证明)

用mgf进行计算会比上述方法稍微简单一些。

MGF计算

定义

则：

那么：

那么对于二项分布：

故：

对于负二项分布：

观察和式，令

因此：

则：

故：

当然，我们还可以把二项分布和负二项分布分别拆成若干次独立试验。

利用伯努利分布和几何分布

伯努利分布：可以看作二项分布中的单次试验，即

；

几何分布：可以看作负二项分布中

的情况。

二项分布中的

次试验相互独立，因此可以看作

次相互独立的伯努利试验。

而单次伯努利试验的期望：

方差：

所以二项分布的均值：

方差：

同理，我们计算几何分布的均值：

两式相减：

则：

计算方差前，计算

：

令

，则：

令

则：

错位相减得：

则：

而对于

，我们将其拆成：

令

则

错位相减得：

则：

故

所以

那么

那么负二项分布的均值与方差为：