本文对matlab中fft的使用作出详细说明，并对频谱的双边、单边幅度谱与相位谱加以说明。

FFT是DFT的快速算法，当FFT点数为2的整数次幂时，MATLAB可以使用FFT的快速算法；如果不是2的整数次幂，那么只能使用公式的算法，实质上未使用上快速算法，两者在计算时间上有差异。

1.Y = fft(X) 用快速傅里叶变换 (FFT) 算法计算 X 的离散傅里叶变换 (DFT)。

2.Y = fft(X,N) 返回 N 点 DFT。即对于 Y = fft(X,n,dim)，size(Y,dim)的值等于 n，而所有其他维度的大小保持与在 X中相同。

3.Y = fft(X,N,dim) 返回沿维度 dim 的傅里叶变换。例如，如果 X 是矩阵，则 fft(X,N,2) 返回每行的 N 点傅里叶变换。(下文有举例)

接下来对上述三种用法进行举例，实际绘制频谱中频谱分为单边谱和双边谱的绘制，在三种用法举例中顺带将这两种绘制方式一并列出了。

使用傅里叶变换求噪声中隐藏的信号的频率分量,其中使用单边谱的绘制方式呈现频谱图。

例：指定信号的参数，采样频率为 1 kHz，信号持续时间为 1.5 秒(即1500个信号点)。

使用fft(X)求得频谱绘制的单边谱如下：

通过填充零来对信号的傅里叶变换进行插值。

例：指定信号的参数，采样频率为 80 Hz，信号持续时间为 0.8 秒。

填充零来对信号的傅里叶变换进行插值效果对比如下图： 需要注意的是：

1.由于进行fft点数的不同，将双边谱转换为单边谱的计算有所区别。如代码中25行以及43行所示。

2.补零后，频率分辨率由原来的Fs/L变为Fs/N,补零以后能改善栅栏效应，使原先不清晰的谱线显现。虽然数据长度在补零后增长到N，但其有效长度还应该是L，且计算幅值是要以有效长度来计算的。参看代码23行和41行。参看FFT中的补零问题_fft补零的效果更加明显。

解释如下(注意MATLAB中的向量索引从1开始，以下解释为0开始)： 假设序列{y}的DFT序列{Y}长度也为N，表示为： 根据傅立叶变换的理论，这个序列中的后半部分实际上表示的是负频率信息。实序列的傅立叶变换的元素间存在共轭关系： 其中，常数s为： 这样，当N是奇数时，可以将序列{Y}表示为： 单边谱是长度为(N+1)/2的序列 当N是偶数时，序列{Y}可以表示为： 单边谱是长度为(N/2)+1的序列 此处权系数取法是w1=1，w2=2。 具体参看：信号处理：单边、双边频谱间的相互转换

作者拙见，供参考：DFT序列Y0为直流分量，余下的序列存在共轭关系。点数N为奇数时，除去Y0，余下序列为偶数均能成对共轭，各占了一半，转换为单边谱时乘2；点数N为偶数时，除去Y0，余下序列为奇数，中间空下一个不能成对被共用，不必乘2，成对的转换为单边谱需要乘2。

如果 n 小于信号的长度，则 fft 忽略第 n 个条目之后的其余信号值，并返回截断后的结果。 使用傅里叶变换求两种频率分量拼的信号,其中使用双边谱的绘制方式呈现频谱图。

例：前1024个点为幅值为2，频率为50的信号；后1024个点为幅值为2，频率为100的信号；共2048个点。

fft(X,N)中的N取1000时可以看到频谱只有一个50的频率，由于是双边谱所以幅值各占一半。为什么只有一个频率啦，由于X信号的长度大于 N，所以将信号进行了截断，取前1000个点周期延拓求频谱。

N取1000时的时域和频谱图： N取2048时的频谱图： 可以看出由于频率分辨率和截断(此处相当于加矩形窗)带来的频谱泄露的问题。此时出现两个频率分量。 使用fft绘制的频谱图如下： 可以看出直接FFT的结果包含了各一半的两种频率分量。

dim — 沿其运算的维度 为正整数标量 沿其运算的维度，指定为正整数标量。如果不指定维度，则默认为第一个大于 1 的数组维度。

fft(X,[],1) 沿 X 的各列进行运算，并返回每列的傅里叶变换。 fft(X,[],2) 沿 X 的各行进行运算，并返回每行的傅里叶变换。 如果 dim 大于 ndims(X)，则 fft(X,[],dim) 返回 X。当指定 n 时，fft(X,n,dim) 将对 X 进行填充或截断，以使维度 dim 的长度为 n。

即dim=1，指定参数沿 X 的列使用 fft； dim =2 ，指定参数沿 X 的行使用 fft。(此处以dim =2 的行运算举例)：

时域波形： 单边幅值频谱图：

创建一个由频率为 15 Hz 和 40 Hz 的两个正弦波组成的信号。第一个正弦波是相位为 −π/4 的余弦波，第二个正弦波是相位为 π/2 的余弦波。以 100 Hz 的频率对信号进行 1 秒钟的采样。