作为20世纪最伟大的科学理论之一，狭义相对论创立100多年来，经受住了大量科学实验的验证，成为现代物理学的重要基础之一。基于“光速不变原理”和“狭义相对性原理”，爱因斯坦首次将时间和空间提升为一个更基本的概念——“时空”，使人类对时间和空间以及物体运动的本质的认识产生了一个飞跃，这个认识上的飞跃不仅对自然科学，而且对哲学的发展有着深远的意义。但自狭义相对论诞生之日起，怀疑批评之声就不绝于耳。人们质疑它，首先是被它所导致的各种被称为时空佯谬的“悖论”，如“动钟变慢”、“动尺收缩”、“双生子佯谬”等效应所困惑。因为这些现象在日常生活中是难以观测到的，但在高精度的且运动速度极快的实验中均已被证实。那么，导致这些有趣现象的理论基础是什么呢?更明确地说，狭义相对论的基本公理有哪些呢?这个问题不仅对于物理学家，即使对于逻辑学家和哲学家也是非常重要的。要搞清这个问题，可以借助数理逻辑公理化的方法。这个问题虽然被包括爱因斯坦本人在内的一些物理学家最先意识到，但由于学科的交叉性，一直没有得到很好的解决。

    一、相对论逻辑基础研究的历史考察

    爱因斯坦自己也曾致力于相对论理论的公理化，从而更清楚地阐明相对论中不易被非专业学者所理解的难题。爱因斯坦指出：“从希腊哲学到现代物理学的整个科学史中，不断有人力图把表面上复杂的自然现象归结为一些简单的基本概念和关系。”①这种将复杂归为简单，用符号来表达语言文字的方法正是数理逻辑研究的一个基本特点。而数学家也努力把数学和物理相结合，早在1900年希尔伯特在国际数学大会上提出的23个数学问题中，其中有一个就是公理化物理。其目的之一就是使物理理论更清晰，更明确。

    逻辑和物理理论的交叉研究可以追溯到20世纪50年代。塔斯基首先用一阶逻辑对几何理论进行公理化②。受其启发，1974年P.Suppes在文章“The Axiomatic method in the empirical sciences”中首先提出了利用一阶逻辑将狭义相对论公理化的问题③。此后，包括Reichenbach④、Ax⑤、Szekeres⑥、Malament⑦、Walker⑧在内的许多研究者都对此做出了研究。他们试图通过先建立闵科夫斯基几何的一阶逻辑表述后，再讨论相对论的公理化问题。但他们主要侧重于运用几何方法构建时空模型，至于这些模型是否同样适合相对论则讨论很少。

    在逻辑和相对论的交叉研究中，除了使用一阶逻辑外，研究者们还从逻辑的其他角度对相对论做出公理化研究。如S. L. Uckelman， J. Uckelman的文章《抽象时空模型的模态逻辑及时态逻辑》(Modal and temporal logics for abstract spacetime structures)⑨，就是逻辑学家用模态逻辑的方法去研究时空理论，在里面引入了模态算子，用模态算子来刻画时空理论。

    二、为狭义相对论寻求一阶逻辑基础的原因

    自爱因斯坦提出狭义相对论以来，人们对相对论的批评就从未停止过。一些初学者更是对“相对时空观”、“同时性的相对性”等问题百思不得其解，对于狭义相对论的重要原理——“间隔不变性原理”更是难以理解。究其根本是没有理解狭义相对论的基本原理，而仅仅流于现象表面。基于这个基本的原因，我们就需要用一种更清晰明白的方式来说明相对论理论，来刻画狭义相对论的公理系统。

    为物理理论寻求公理基础的原因是多方面的。首先，为这些物理理论提供清晰的公理基础。比如明确地回答“什么是狭义相对论”，这个许多人疑惑的问题。然而，据我们所知，到目前为止，并没有一部论著将狭义相对论的公理系统完全阐述清楚。这里的公理系统是指逻辑角度的严格推导的系统。就像对欧氏几何公理基础的认识一样，如果没有对其公理系统进行深入研究，而仅就欧氏几何系统内的定理进行推导和证明，我们就无法意识到平行线第五公设存在的必要性。明确的公理系统可以避免物理学家无意识地使用公理系统外的假设。而对于初学者和非专业学者的意义，则是可以简明清晰地了解狭义相对论理论，从而更深刻地理解各种与相对论相关的有趣现象。

    其次，如果一种理论具有一个清晰的公理系统，就可以知道哪些公理是对应于哪些定理或推论的。并且如果我们拥有一个刻画狭义相对论的公理系统，我们就可以知道如果改变这个公理系统中一个或多个公理，这个理论会有什么改变，这就有可能会引发一个新的有趣的理论。这样的事情曾经发生在欧氏几何的公理系统中，当Bolyai和Lobachevsky改变了欧氏几何公理系统中的一些公理后⑩，才发现了非欧几何学。现代科学分支繁多，不同分支的研究内容与方法又相去甚远，所以要通晓各分支是不现实了，然而我们认为，无论从事哪种分支的研究，在一定程度上了解和掌握数理逻辑的内容与方法都是必要的，正如Morrise Kline所说(11)：“逻辑是属于语言的，它提供一套法则，用以导出更多的词语连接，这也是为了交流真理。”这里的“一定程度上了解”，主要指逻辑演算理论，包括命题演算理论和一阶谓词演算理论。

    除此之外，为相对论理论(或者说时空理论)寻求逻辑基础还有着特别的意义。时空可以看作是自然科学的基础，因为任何自然现象都是在时空中发生的。我们相信，在逻辑学和物理学交叉研究的过程中，逻辑学科定会受益匪浅，也能帮助我们更清晰、准确地理解世界。

    至于我们为什么要选择一阶逻辑而不是高阶逻辑作为研究工具，是因为高阶逻辑没有完备性定理，进而由它描述的理论的完备性就难以证明了。如果没有完备性定理这一联结定理解释和定理证明的桥梁，公理系统的描述力只能是片面的，对于物理学家的帮助也是有限的。

    三、狭义相对论的基本概念

    在狭义相对论中，物质的运动是在相互关系中体现的，不能孤立地描述运动，也就是说必须要有一个参考物，这个参考物就是定位实体运动的参考框架，即参考系。因此研究狭义相对论中的运动学，就是研究实体(包括实验参与者)在不同参考系下的运动，我们把运动看作是时间中相对位置的变化。而实体(bodies)又分为很多种，其中包括事件(events)、观者(observers)、光子(photons)等。简单说来，我们把参考系与我们称之为观者的实体联系起来。

    所谓“观者”，是一些特殊的实体。他们认为自己是静止的，以自身为参照物，从自己的视角来“刻画”看见的事件，这种刻画只是描述事件发生的时间和位置。最常用的描述方式是坐标。

    我们设想一个观者是站在其参考系的空间坐标的原点，也就是站在其参考系的时间轴上的。不同的观者有不同的参考系。观者可以分为惯性观者和非惯性观者，它们之间有绝对的区别。可以这样说，在所有的观者组成的集合中可以选出一个特殊的子集，其中每个元素都是惯性观者，各惯性观者之间平权，不存在特殊的惯性观者。即：在由惯性观者组成的子集中不能选出一个或几个与众不同的元素。例如不能说哪个惯性观者处于绝对静止状态，因此每个惯性观者所在的惯性参考系也是平权的，并且属于不同参考系的惯性观者之间是相互运动的。

    为了更方便和直观，我们可以把参考系想象成是用空间坐标和时间坐标描述实体运动状态的几何坐标图，它能够清晰地描述实体的空间位置随时间的变化情况。参考系是由时间轴和空间轴构成的，其中几何原点称为时空原点，也就是时间和空间坐标都为零的点。

    时空坐标上任意一个几何意义上的点称为事件，它对应着一个特定的空间位置和一个时刻。为了定位事件，我们要用到一个由实数所构成的线性域，是用来定位时间和空间的。这个域中的元素

    有一种实体我们称之为光子，用字母ph来表示。由于光速不变原理是狭义相对论的基本公理之一，在物理上常常把光速C恒等于1，因此光子的空间坐标与时间坐标之比为1，也就是说光子的世界线(可以理解为一个光子在时空坐标中的运动轨迹)与时间轴和空间轴的夹角恒为45度。

    根据前面表述，我们知道实体是我们这个时空模型中重要的一员，它能被观者“观测到”(用“量”去定位)。这里说的“观测到”并不是指实体发出一个光脉冲，进入观者的视线里，而只是简单指实体经过了该观者参考系的某个时空位置。

    四、基本概念的一阶逻辑表述

    一阶逻辑的方法是符号化的方法，前面这些基本概念都是用文字来表述的，现在我们需要用逻辑的语言去刻画它们，也就是把这些基本概念都符号化。

    首先，我们为一个维数d≥2的时空理论公理化，这个一阶逻辑语言中包括下面这些非逻辑符号：

    *　一元关系符号B(代表实体body)，Ob(代表观者Observer)，IOb(代表惯性观者Inertial Observer)，Ph(代表光子Photons)，Q(代表“量”Quantities)

    *　二元函数符号+，·以及一个二元关系符号≤(在Q中的运算)

    观者m的坐标域是指m能够观测到实体的坐标点的集合，公式表达为：

    这个公理表达的意思是说，每一个事件，都能用任意一个惯性观者参考系中的时空点来刻画。

    AxPh(光速不变原理)：任意光子的世界线的斜率都为1。

    《相对论的一阶逻辑基础》认为由我们上面所提到的几个公理组成公理系统Specrel=｛AxFrame，AxSelf，AxEv，AxPh，AxSimdist｝能够证明间隔不变性定理，再通过间隔不变性来证明洛伦兹变换，从而导出“动钟变慢”等一些狭义相对论效应(22)。但是在J. X. Madarász，I. Németi，G. Székely合写的另一篇文章《双生子佯谬及相对论理论的逻辑基础》中则明确提出，只需要AxFrame，AxSelf，AxPh，AxEv这几个公理就能证明出“动钟变慢”(23)。但在这两篇文章中，都只是列出了公理系统，却没给出具体的证明过程。

    六、完善后的狭义相对论的一阶逻辑公理系统Specrel’

    通过深入分析研究，我们发现上面的这两个公理系统无论从逻辑角度还是物理角度来证明间隔不变性原理都是不显然的。狭义相对论中光速不变原理的提出得益于著名的麦克逊—莫雷实验，这个实验彻底否定了光的以太学说(24)，得出了光速与参考系无关的结论。也就是说，无论你是在哪个惯性系中，测得的光速都是一样的。这就是狭义相对论的一个重要假设：光速不变原理。即：任意一个惯性系中的观测者所测得的真空中的光速恒为C，不随光源和观察者所在参考系的相对运动而改变。

    狭义相对论的另一基本假设是狭义相对性原理，即物理定律与惯性参照系的选择无关。马赫在哲学和科学方面的研究为爱因斯坦建立相对论的基本框架奠定了重要基础，马赫信奉实证主义学派，实证主义思想隐含了时间和空间的相对性，对爱因斯坦产生了重大的影响。马赫对牛顿学说中关于空间和时间概念的质疑，为爱因斯坦后来假设时空相对性提供了重要的启示(25)。

    对于狭义相对论的这两条原理有必要指出：第一，这两条原理是相互独立的，就是说不可能从一条原理直接导出另一条原理。当然，如果我们另外假定麦克逊—莫雷的实验是正确的并认为它服从狭义相对性原理，是可以导出光速不变原理的。第二，这两条原理在狭义相对论中是作为公理提出来的，它们不能为逻辑所证明，只能由实验来验证。到目前为止，所有的实验都是支持这两条原理的(26)。

    我们不难看出，在Specrel公理系统中，AxPh正是光速不变原理的公理化。而狭义相对性原理在Specrel中却没有充分体现出来。因此，我们对Specrel公理系统的表现力和证明力提出质疑。我们在前文的公理系统中删除了一个公理，并加入了两个新的公理，来完善这个公理系统。

    对于两个惯性观者m和k，他们在各自的坐标系内观测到实体b的坐标点p和q都是唯一的，即观者m观测到实体b位于坐标点p，而k观测到b位于坐标点q。我们可以得出一个跟惯性观者m、k相关的有序对＜p，q＞，表示惯性观者m观测到位于坐标点p和k观测到的位于坐标点q的是相同的事件：

    我们称这几个公理共同构成Specrel’公理系统：

    Specrel’：=｛AxFrame，AxSelf，AxPh，AxEv， AxSym，AxTrans｝

    Specrel’这个公理系统与Specrel这个公理系统相比，多了AxSym和AxTrans这两条公理，少了AxSimdist这个公理，我们证明了通过AxTrans这条公理能够导出AxSimdist，即AxSimdist不独立于AxTrans。同时也说明Specrel’公理系统比 Specrel公理系统强。

    七、简单证明

    无论是证明：由公理AxTrans能够推出公理 AxSimdist，还是证明“动钟变慢”，都要利用一个重要的定理：在惯性观者m和k看来，这两个事件之间的时空距离是相等的。

     八、结束语

    我们在完善后的公理系统Specrel’中证明了洛伦兹变换。洛伦兹变换是证明狭义相对论的各种典范效应的一个最基本公式，它是两个相互做匀速运动的惯性观者m和k分别在各自的坐标系内观测同一事件的坐标之间的变换式。有了洛仑兹变换，大家熟知的一些典范效应，如“动钟变慢”，“动尺收缩”等就能进一步得到公理化的证明。因此，无论从描述能力还是证明能力的角度看，我们认为公理系统Specrel’都是一个优于Specrel的系统，有望成为描述狭义相对论的一个基础公理系统。

  （原载《北京师范大学学报》2012年4期）