\(\mathbf{{\large {\color{Red} {欢迎到学科网下载资料学习}} } }\)【【高分突破系列】高二数学下学期同步知识点剖析精品讲义！ \(\mathbf{{\large {{\color{Red} {跟贵哥学数学，so \quad easy！}} }}}\)

选择性必修第二册同步提高，难度3颗星！

\((1)\)定义：数列是按照一定次序排列的一列数； \((2)\)数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项，第一项常称为首项； \((3)\)数列的表示：数列的一般形式可以写成\(a_1\),\(a_2\),… ,\(a_n\),…，简记\(\{a_n\}\).  

数列就是定义在正整数集\(N^*\)(或它的有限子集\(\{1 ,2 ,3....n\}\))上的函数\(f(n)\)，其图象是一系列有限或无限孤立的点. \({\color{Red}{解释}}\) 日后研究数列的性质可以从函数的角度出发，比如单调性，最值等.

如果数列\(\{a_n\}\)的第\(n\)项与序号\(n\)之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. \({\color{Red}{Eg}}\) 数列\(1 ,0 ,1 ,0，…\)，其通项公式可以是\(a_{n}=\dfrac{1+(-1)^{n+1}}{2}\),\(a_{n}=\sin ^{2} \dfrac{n \pi}{2}\)等. \({\color{Red}{解释}}\) \((1)a_n\)与\(\{a_n\}\)是不同的概念，\(\{a_n\}\)表示数列\(a_1\),\(a_2\),⋯，而\(a_n\)表示的是数列的第\(n\)项； (2)数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值.  

若已知数列\(\{a_n\}\)的第一项\(a_1\)(或前\(n\)项)，且任一项\(a_n\)和它的前一项\(a_{n-1}\)(或前\(n\)项)间的关系可以用一公式表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式. \({\color{Red}{Eg}}\) \(a_1\)(初始条件)，\(a_n=2a_{n-1}+3n\)(递推关系)； \(a_1=1\),\(a_2=2\)(初始条件) ,\(a_n=3a_{n-1}-2a_{n-2}\)(递推关系).  

若\(S_n\)为数列\(a_n\)的前\(n\)项和，即\(S_n=a_1+a_2+...+a_n\). 则\(a_{n}= \begin{cases}S_{1} & , n=1 \\ S_{n}-S_{n-1}, & n \geq 2\end{cases}\).  

【典题1】下列有关数列的说法正确的是(　　) ①数列\(1 ,2 ,3\)可以表示成\(\{1 ,2 ,3\}\)； ②数列\(-1 ,0 ,1\)与数列\(1 ,0 ,-1\)是同一数列； ③数列\(\left\{\dfrac{1}{n}\right\}\)的第\(k-1\)项是\(\dfrac{1}{k-1}\)； ④数列中的每一项都与它的序号有关． A．①② \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．③④ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)C．①③ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．②④ 【解析】对于①，\(\{1 ,2 ,3\}\)是集合，不是数列，故选项①错误； 对于②，数列是有序的，故数列\(-1 ,0 ,1\)与数列\(1 ,0 ,-1\)是不同的数列，故选项②错误； 对于③，数列\(\left\{\dfrac{1}{n}\right\}\)的第\(k-1\)项是\(\dfrac{1}{k-1}\)，故选项③正确； 对于④，由数列的定义可知，数列中的每一项都与它的序号有关，故选项④正确． 故选：B． 【点拨】注意集合与数列的在“顺序、异同性、表示方法”上的区别. 数列是有序性，集合是无序性的；集合是互异性的，但数列不作要求.  

【典题2】数列\(\{a_n\}\)为从\(a_0\)开始的非负整数有限数列，\(a_i\)表示在这个数列中\(i\)出现的次数．那么数列的项数不可能是 (　　) A．\(4\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(5\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(6\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(7\) 【解析】\(a_i\)表示在这个数列中\(i\)出现的次数．\({\color{Red}{(理解这个是关键)}}\) 当\(a_0=2\),\(a_1=0\),\(a_2=2\),\(a_3=0\)时，满足条件，此时数列有\(4\)项，故排除\(A\)； 当\(a_0=2\),\(a_1=1\),\(a_2=2\),\(a_3=0\),\(a_4=0\)时，满足条件，此时数列有\(5\)项，故排除\(B\)； 当\(a_0=3\),\(a_1=2\),\(a_2=1\),\(a_3=1\),\(a_4 =0\),\(a_5=0\),\(a_6=0\)时，满足条件，此时数列有\(7\)项，故排除\(D\)； 故选：\(C\)． 【点拨】本题是选择题，优先考虑排除法，但留下了个问题：为什么项数不可能是\(6\)呢？还有其他项数不存在么？大家有什么想法，可以试试探究下！对问题的追问、深问是学数学的基本品质.  

【典题3】求数列\(\left\{\dfrac{n}{n+2}\right\}\)是增减性. 【解析】 \({\color{Red}{方法一 \quad 作差法}}\) \(a_{n+1}-a_{n}=\dfrac{n+1}{n+3}-\dfrac{n}{n+2}=\dfrac{2}{(n+3)(n+2)}>0\)， 所以\(a_{n+1}>a_n\)，故数列\(\left\{\dfrac{n}{n+2}\right\}\)是增数列. \({\color{Red}{方法二 \quad 作商法}}\) \(\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=\dfrac{n+1}{n+3} \cdot \dfrac{n+2}{n}=\dfrac{n^{2}+3 n+2}{n^{2}+3 n}>1\)， 又\(∵a_n>0\)，所以\(a_{n+1}>a_n\)， 故数列\(\left\{\dfrac{n}{n+2}\right\}\)是增数列. \({\color{Red}{方法三 \quad 函数思想}}\) \(a_{n}=\dfrac{n}{n+2}=\dfrac{1}{1+\dfrac{2}{n}}\)， \(\because f(x)=\dfrac{1}{1+\dfrac{2}{x}}\)在\((0 ,+∞)\)递增， \(\therefore a_{n}=\dfrac{1}{1+\dfrac{2}{n}}\)也是随着\(n\)的增大而增大， 故数列\(\left\{\dfrac{n}{n+2}\right\}\)是增数列. 或\(a_{n}=\dfrac{n}{n+2}=1-\dfrac{2}{n+2}\)， 由\(f(x)=1-\dfrac{2}{x+2}\)在\((0 ,+∞)\)递增也可得结论. 【点拨】求证数列单调性，常用方法有三： ① 作差法，比较\(a_{n+1}-a_{n}\)与\(0\)的大小； ② 作商法，比较\(\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\)与\(1\)的大小，此时要注意\(a_n\)的正负； ③ 视通项公式为函数解析式，用函数单调性的方法处理，此时要注意\(n\)的取值范围是正整数.  

【典题4】已知数列\(\{b_n\}\)满足\(b_{n}=2 \lambda\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}-n^{2}\)，若数列\(\{b_n\}\)是单调递减数列，则实数\(λ\)的取值范围是 \(\underline{\quad \quad}\) . 【解析】数列\(\{b_n\}\)是单调递减数列， 则\(b_{n+1}-b_{n}\)\(=2 \lambda\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n}-(n+1)^{2}-2 \lambda\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}+n^{2}\)\(=6 \lambda\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n}-2 n-1