【本讲教育信息】

一. 教学内容：

    因式分解的方法（二）――公式法

二. 教学目标：

  1. 知识与技能

    （1）理解运用公式法的概念。

    （2）能根据公式的不同特点，正确地选用公式进行因式分解。

  2. 过程与方法

    （1）了解各公式的结构特点，进而记忆公式。

    （2）结合公式的背景，体会公式的实际意义。

  3. 情感、态度与价值观

    通过主动探索与相互间的交流，获得新的知识体系，激发学生的学习兴趣，体会数学的应用价值。

三. 教学重点、难点：

    重点：利用公式法分解因式。

    难点：灵活选择恰当的方法，进行因式分解。

四. 知识要点归纳：

  1. 运用公式法

    （1）概念：把乘法公式反过来用，就可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

    （2）说明：运用公式来分解因式，关键是掌握每个公式的特点（如：项数、符号、系数和指数各有什么特点），公式中的字母不仅可以表示数，也可以表示单项式、多项式。

  2. 因式分解公式

    公式的特点：左边为二项式，是两个数的完全平方的差，右边是这两个数的和与差的积，运用这个公式可以把形式是平方差的二项式分解因式。

    公式的特点：左边为三项式，其中首末两项是两个数的平方和的形式，中间一项是这两个数的积的2倍（加上相应的符号），右边是这两个数之和（或差）的平方，运用完全平方公式可将符合公式左边特点的三项式分解因式。

    说明：公式中的a、b既可以表示数，又可以表示单项式或多项式。

五. 方法技巧规律总结：

  1. 平方差公式，完全平方公式中，公式中的字母a、b既可以用数或字母代替，也可以用单项式或多项式代替。

  2. 如果一个多项式的各项含有公因式，就先提公因式，然后再进一步分解，直至不能再分解为止。

  3. 有些计算题，虽然属于单纯的数字计算，但是按一般步骤进行，不仅计算麻烦，且易出错，若能利用因式分解的方法，先因式分解，再计算，就可以大大地简化运算过程。

  4. 运用公式法分解因式的思路是：

    （1）当多项式只有两项时，若各项的指数都是2的倍数且二次项系数异号时，可考虑用平方差公式。

    （2）当多项式有三项时，可以考虑用完全平方公式加以分解。

【典型例题】

    ［基础知识题］

  例1. 运用平方差公式分解因式

    分析：在运用平方差公式进行因式分解时，首先要判断能不能把多项式写成平方差的形式，平方差公式的特点是它的左端必须是平方差的形式，即a2－b2，然后可以分解成(a+b)(a－b)，同时还要注意a、b既可以表示单项式，又可以表示多项式，同时因式分解后的结果要化简，且要分解到不能再分解为止。

    解：

  例2. 用完全平方公式分解因式：

    分析：用完全平方公式进行因式分解时，首先要判断多项式是否符合完全平方公式的特点，其特点是：左端有三项，首末两项是平方项，且符号相同，中间项是首末两项底数的积的两倍。

    解：

    ［探究开放题］

  例3. △ABC的三边a、b、c满足a2+2b2+c2－2ab－2bc=0，试判定△ABC的形状。

    分析：此例中方程a2+2b2+c2－2ab－2bc=0含有三个字母a、b、c均是未知的，像这样的题目通常化成几个非负数的和为零的形式，求出a、b、c的值或者三者之间的关系。

    解：

    ∴△ABC是等边三角形

  例4. 已知a、b、c分别是△ABC的三边

    求证：（a2+b2－c2）2－4a2b2

    ∵a、b、c为三角形ABC的三边

    根据三角形三边之间的关系有：

    ［创新提高题］

  例5.

    分析：观察式子发现（2+1）如果乘以（2－1）就可以用平方差公式得到22－1，再与22+1相乘又可用平方差公式得到24－1，这样进行下去，构造了一系列的平方差公式，因而使问题迎刃而解，此题解法巧妙之处在于借“1”，构造平方差公式。

    解：

    由上规律可判断264的末位数字为6。

  例6. 求证比四个连续自然数的积大1的数必是一个完全平方数。

    分析：连续自然数依次相差1，若设最小的一个自然数为n，则其它三个依次为n+1，n+2，n+3，因此根据题意比这四个连续自然数的积大1的数就是n(n+1)(n+2)(n+3)+1，欲证这个数是完全平方数，只要证明它是完全平方式即可，在证明过程中，我们可巧妙地将n与n+3组合相乘，将(n+1)与(n+2)组合相乘，目的是使两个因式相乘后，积中含有的项完全相同，都是n2+3n，然后把n2+3n看作一个整体。

    解：设连续自然数分别为n，n+1，n+2，n+3，根据题意得：

    ∴无论n取任何自然数，(n2+3n+1)2都一定是某个自然数的平方，即比四个连续自然数的积大1的数必是一个完全平方数。

【模拟试题】（答题时间：60分钟）

一. 填空题

  1. 已知的值是_____________。

  2. ______________。

  3. 对于任意整数m，多项式都能被__________整除。

  4. 分解因式：_____________。

  5. 若是一个完全平方式，则m=______________。

  6. 若，则____________。

  7. 已知，则__________，_________。

  8. 已知，当x________时，有最小值是___________。

二. 选择题

  1. 下列各式能用平方差公式分解因式的是（    ）

    A.

    B.

    C.

    D.

  2. 无论x、y取何值，的值都是（    ）

    A. 正数                                     B. 负数

    C. 零                                         D. 非负数

  3. 若可分解得，那么a、b、c的值分别是（    ）

    A.

    B.

    C.

    D.

  4. 在有理数范围内把分解因式，设结果中因式的个数为n，则n等于（    ）

    A. 3                      B. 4                      C. 5                      D. 6

  5. 计算的值是（    ）

    A. 2                      B.                   C. 0                      D.

  6. 下列各式中，不能用完全平方公式分解因式的是（    ）

    A.

    B.

    C.

    D.

  7. 数可被60~70之间的某两个数整除，它们是（    ）

    A. 6和7                                    B. 20和21

    C. 40和41                                 D. 63和65

  8. 多项式分解因式的结果是（    ）

    A.

    B.

    C.

    D.

三. 解答题

  1. 已知：，求a、b的值。

  2. 已知：的值为多少？

  3. 化简求值：，其中

  4. 利用因式分解计算：

四. 分解因式：

  1.

  2.

  3.

  4.

五. 求证：不论n取何值，代数式必为某一个完全平方数的3倍。

六. 求证：能被45整除。

【试题答案】

一. 填空题

  1.

  2.

  3.

    ∴能被8整除。

  4.

  5. 或

  6.

  7.

  8. －1，1

二. 选择题

  1. 1. （A）

  2.

  3.

  4.

    ∴选（C）

  5.

    ∴选（C）

  6. B

  7.

    ∴选（D）

  8.

    ∴选（C）

三. 解答题

  1.

  2.

  3.

  4. 原式

四. 分解因式

  1.

  2.

  3.

  4.

五. 证明：

    ∴不论n为何值，代数式必为某一个完全平方数的3倍。

六. 证明：

    ∴能被45整除。