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1. 积分
单变量函数的积分学
张瑞
中国科学技术大学数学科学学院
[email protected]
积分
积分的定义求一个曲边梯形的面积
\usetikzlibrary{arrows}
\usetikzlibrary{intersections, calc}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8,samples=200, >=latex,thick]
\fill[fill=yellow!80!black] (2.0,0)--(2.0,1.3)--(2.5,1.3)--(2.5,0);
% \clip (0,0) rectangle (5,5);% 切り抜き
\draw[thick,->] (-0.5,0) -- (5,0) node[right] {$x$};% x軸
\draw[thick,->] (0,-0.1) -- (0,3) node[below right] {$y$};% y軸
\draw (0,0) node[below left] {O};% 原点
%\draw (0,0) to [out=60,in=120] (3,1);
\draw[thin] (0.5,0)--(0.5,1.5);
\draw[thin] (4,0) -- (4,2);
\draw[name path=fx, thick] (0.5,1.5) .. controls (2,0) and (2,2) .. (4,2);
\draw (2,2) node[above] {$y=f(x)$};
\draw (1.0, 0) node[below] {$x_1$};
\draw (2.5, 0) node[below] {$x_i$};
%\draw (3.5, 0) node[below] {$x_{n-1}$};
\draw (0.5, 0) node[below] {$a$};
\draw (4, 0) node[below] {$b$};
\foreach \x in {1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0, 3.5 }
{
\path[name path=main] (\x,0) -- (\x,2.0);
\path[name intersections={of=fx and main}] (intersection-1) coordinate (P);
%\coordinate (a) at (intersection-1);
\draw[dotted] (\x,0)-- (P);
}
\end{tikzpicture}
先在$a$,$b$之间插入分割点$a=x_00 \\
0, &x=0 \\
-1, & x0$
解. 取$x=a\sin(t)$，则 $\begin{cases}x=0 & \Rightarrow t=-\frac{\pi}2 \\x=a & \Rightarrow t=\frac{\pi}2 \ \ (+{2\pi}?)\end{cases}$ \[\begin{aligned} &\int_{-a}^a\sqrt{a^2-x^2}dx=\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}a\cos(t) a \cos(t) dt \\ =&\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}a^2\cos^2tdt =\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}a^2\left(\dfrac{1+\cos2t}{2}\right)dt \\ =&\left.\dfrac{a^2}2\left(t+\dfrac12\sin(2t)\right)\right|_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} =\dfrac12\pi a^2 \end{aligned} \]不能在变量代换后，将积分区间变为$[-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2+2\pi]$ 因为，在不同区间，被积函数表达式不对。事实上， \[\begin{aligned} &\int_{-a}^a\sqrt{a^2-x^2}dx=\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2+2\pi}a|\cos(t)| a \cos(t) dt \\ =&\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}a^2\cos^2tdt +\int_{\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2+\pi}(-a^2\cos^2t)dt +\int_{\frac{\pi}2+\pi}^{\frac{\pi}2+2\pi}(a^2\cos^2t)dt \\ =&\left.\dfrac{a^2}2\left(t+\dfrac12\sin(2t)\right)\right|_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} =\dfrac12\pi a^2 \end{aligned} \]例 35. 比较积分的大小 $\displaystyle\int_0^\pi e^{-x^2}\cos^2xdx$，$\displaystyle\int_\pi^{2\pi} e^{-x^2}\cos^2xdx$ 例 36. 判定积分的符号 $\displaystyle\int_0^{2\pi}\dfrac{\sin x}{x}dx$, $\displaystyle\int_{-2}^2x^3e^xdx$ 例 37. $\displaystyle\int_{-1}^1\dfrac{x}{\sqrt{5-4x}}dx$ 当$f(x)$在$[0,a]$上连续，则 \[\int_0^af(x)dx=\int_a^0f(a-t)d(a-t)=\int_0^af(a-t)dt \]特别地，当$f(x)$连续，则有 \[\int_0^{\frac{\pi}2}f(\sin x)dx=\int_0^{\frac{\pi}2}f(\sin (\dfrac{\pi} 2-x))dx=\int_0^{\frac{\pi}2}f(\cos x)dx \]定理 21. (分部积分) 设$u(x),v(x)$在$[a,b]$上具有连续的一阶导数$u'(x), v'(x)$，则有 \[\int_a^b u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)|_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)dx \]或 \[\int_a^b u(x)d(v(x))=u(x)v(x)|_a^b - \int_a^b v(x)d(u(x)) \]例 38. $\displaystyle\int_0^{\sqrt 3}x\arctan(x)dx$ 例 39. $\displaystyle\int_0^3\arcsin\sqrt{\dfrac{x}{1+x}}dx$ 周期函数的积分定理 22. $f(x)$以$T$为周期的连续函数，则 \[\int_{\alpha}^{\alpha+T}f(x)dx=\int_0^Tf(x)dx \]例 40. $f(x)$在$[0,1]$上连续，且$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}2}f(|\cos(x)|)dx=2$。求 \[\displaystyle\int_0^{2\pi}f(|\cos(x)|)dx \]例 41. 若 \[f(x)=\displaystyle\int_x^{x+2\pi}(1+e^{\sin t}-e^{-\sin t})dt+\dfrac1{1+x}\int_0^1f(t)dt \]试求$\displaystyle\int_0^1f(x)dx$ 对称函数的积分定理 23. $f(x)$在$[-l,l]$上连续，则 若$f(x)$为奇函数，则$\displaystyle\int_{-l}^l f(x)dx=0$ 若$f(x)$为偶函数，则$\displaystyle\int_{-l}^l f(x)dx=2\int_0^l f(x)dx$例 42. $\displaystyle\int_{-1}^1 (x+\sqrt{1-x^2})^2dx$ 例 43. $\displaystyle\int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2} \dfrac{(1-x)^2\cos^3x}{1+x^2}dx$ 例 44. $\displaystyle\int_{-2}^{2} \ln(x+\sqrt{1+x^2})\ln(1+x^2)dx$ $f(x)$在$[a,b]$上连续，若$f(a+b-x)=-f(x)$（称$f(x)$关于$\dfrac{a+b}2$奇对称），则$\displaystyle\int_a^b f(x)=0$ $f(x)$在$[a,b]$上连续，若$f(a+b-x)=f(x)$（称$f(x)$关于$\dfrac{a+b}2$偶对称），则$\displaystyle\int_a^b f(x)=2\int_a^{\frac{a+b}2} f(x)dx=2\int_{\frac{a+b}2}^b f(x)dx$ 对于积分$\int_a^b f(x)dx$，可以用替换$t=a+b-x$来试试$f(x)$是否具有对称性 例 45. $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}4}\ln(1+\tan x)dx$ 例 46. $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}4}\dfrac{x}{\cos^2x+\sin x\cos x}dx$ 定理 24. $f(x),g(x)$在$[a,b]$上连续，且 $f(a+b-x)=f(x)$，即$f(x)$关于$\dfrac{a+b}2$偶对称； $g(a+b-x)+g(x)=A$，$A$为常数则有 \[\begin{aligned} \int_a^b f(x)g(x)dx=\dfrac{A}2\int_a^bf(x)dx \\ =A\int_a^{\frac{a+b}2}f(x)dx =A\int_{\frac{a+b}2}^b f(x)dx \end{aligned} \]当$f(x)$在$[0,1]$上连续，则有 \[\int_0^{\pi}xf(\sin x)dx=\dfrac{\pi}2\int_0^{\pi}f(\sin x)dx \]例 47. $\displaystyle\int_{0}^{\pi}\dfrac{x\sin x}{1+\cos^2x}dx$ 对于积分$\displaystyle\int_{\frac1a}^a f(x)dx$，可以用替换$x=\frac1t$来测试$f(x)$的对称性 定理 25. $a>1$，$f(x)$,$g(x)$在$[\frac1a,a]$上连续，且 \[f(x)=f(\dfrac1x), \ \ \, g(x)+g(\dfrac1x)=A \]其中$A$为常数。则有 \[\begin{aligned} \int_{\frac1a}^a\dfrac{f(x)g(x)}xdx=\dfrac{A}2\int_{\frac1a}^a\dfrac{f(x)}x dx =A\int_1^a\dfrac{f(x)}xdx %=A\int_{\frac1a}^1\dfrac{f(x)}xdx \end{aligned} \] 递推公式例 48. $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}2}\sin^m(x)dx$ (例：5.1.10) 例 49. $\displaystyle\int_0^1x^k\ln^mxdx , k>0, m\in\mathbb N$ 例 50. $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(\dfrac{(2n)!!}{(2n-1)!!})^2\dfrac1{2n+1}$ (Wallis公式) 例 51. $f(x)$连续，$f(0)\neq 0$，求 \[\lim_{x\to0}\dfrac{\int_0^x(x-t)f(t)dt}{x\int_0^xf(x-t)dt} \]例 52. $f(x)$连续，$f'(0)$存在，求 \[\lim_{h\to0}\dfrac1{h^2}\int_0^h(f(x+h)-f(x-h))dx \]例 53. $f(x)$连续，且$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}x=2$，$\phi(x)=\displaystyle\int_0^1f(xt)dt$，求$\phi'(x)$ 如何求$\displaystyle\int_a^b\left(f(x)\int_c^xg(y)dy\right)dx$型的积分？若$F'(x)=f(x)$， 则分部积分 \[\begin{aligned} \int_a^b\left(f(x)\int_c^xg(y)dy\right)dx=\int_a^b(\int_c^xg(y)dy)d(F(x)) \\ =\left.F(x)\int_c^xg(y)dy\right|_a^b-\int_a^bF(x)g(x)dx \end{aligned} \]例 54. 计算$\displaystyle\int_0^1(\int_x^1\arctan(t^2)dt)dx$ 例 55. 证明 $\displaystyle\int_0^1x^2(\int_1^xe^{-y^2}dy)dx=\dfrac16(\dfrac2e-1)$ 例 56. $f(x)$以$T$为周期的函数，且在$[0,T]$上可积。则 \[\lim_{x\to+\infty}\dfrac1x\int_0^xf(t)dt=\dfrac1T\int_0^Tf(x)dx \]例 57. 求$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac1x\int_0^x|\sin t|dt$ 例 58. 设$f(x)$在$[0,2]$连续，且$\displaystyle\int_0^2f(x)dx=0$，则$\exists\xi\in(0,2)$，满足 \[f(2-\xi)+f(\xi)=0 \]例 59. $f(x)$在$[0,1]$上连续，$\displaystyle\int_0^1f(x)dx=\displaystyle\int_0^1xf(x)dx$，则$\exists\xi\in(0,1)$，满足 \[\int_0^{\xi}f(x)dx=0 \]例 60. $f(x)$在$[0,\pi]$上连续，且 \[\int_0^{\pi}f(x)dx=0, \ \ \, \displaystyle\int_0^{\pi}f(x)\cos xdx=0 \]证明： $\exists\xi_1\neq\xi_2\in(0,\pi)$，满足 \[f(\xi_1)=f(\xi_2)=0 \]例 61. $f(x)$在$[0,1]$上有二阶连续函数，$f'(0)=f'(1)=0$，证明： $\exists\xi\in(0,1)$，满足 \[\int_0^1f(x)dx=\dfrac12(f(0)+f(1))+\dfrac1{24}f''(\xi) \]例 62. $f(x)$在$[a,b]$上连续，且$f''(x)\geq0, x\in(a,b)$，则有 \[\int_a^bf(x)dx\leq\dfrac{f(a)+f(b)}2(b-a) \] 用积分定义函数虽然有大量的例子表明，初等函数的积分仍然是初等函数。但不少的初等函数的积分不能用初等函数表示，如 \[\begin{aligned} \int e^{-x^2}dx , \int\frac1{\ln x}dx, & \int\frac{\sin x}xdx, \int \sin(x^2)dx \\ \int \frac1{\sqrt{a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n}}dx, & \int\sqrt{a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n}dx \end{aligned} \]试图用初等函数来表示积分的结果是不可能的 如果一个初等函数的积分可以用初等函数$f(x)$来表示，则表明函数$f(x)$也可以用积分来定义 如果一个函数的积分不能用初等函数来表示，就可以用这个积分来表示一个新的函数例 63. 定义函数$f(x)=\displaystyle\int_1^x\frac1u du$, $x>0$。 由$\frac1u$连续，因此$f(x)$可导。 $f(1)=0$ 对任意$x>0$, $y>0$，有 \[\begin{aligned} \int_1^{xy}\frac1u du =&\int_1^x\frac1udu+\int_x^{xy}\frac1udu =\int_1^x\frac1udu+\int_1^{y}\frac1{xt}xdt \\ =&\int_1^x\frac1udu+\int_1^{y}\frac1{t}dt \\ \end{aligned} \]即有$f(xy)=f(x)+f(y)$, $\forall x, y>0$由$f(xy)=f(x)+f(y)$，可以得到 $f(x^2)=2f(x)$ $f(x)+f(\frac1x)=0$，即$f(\frac1x)=-f(x)$ $f(x^n)=nf(x)$, $\forall n\in\mathbb{Z}^+$ $nf(\sqrt[n]{x})=f(x)$，进而$f(x^{\frac1n})=\frac1nf(x)$ $f(x^\alpha)=\alpha f(x)$, $\forall \alpha\in\mathbb{Q}^+$ 由$e=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n$，可以得到$f(e)=1$可以把$f(x)$记作$\ln x$ 定义 4. 椭圆积分是一种积分类型。这里列出两类不同形式的椭圆积分 \[u(s)=\int_0^s\frac1{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}dx \]其中$k$是一个参数。 \[u(s)=4a\int_0^s\frac{\sqrt{1-e^2u^2}}{\sqrt{1-u^2}}du \]其中$e$是椭圆的离心率。 Taylor余项的积分表示设$f(x)$在区间中具有直到$n+1$阶的连续导函数。函数在$x=a$处的Taylor展开为 \[f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+R_n \]余项$R_n$可以表示为 \[R_n(a)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)-\cdots-\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \]将$a$看作变量，则$R_n(x)=0$，且$R'_n(a)$为 \[\begin{aligned} R'_n(a)=-f'(a)&-\left[f''(a)(x-a)-f'(a)\right] \\ &-\left[\frac{f'''(a)}{2!}(x-a)^2-{f''(a)}(x-a)\right] -\cdots\\ &-\left[\frac{f^{(n+1)}(a)}{n!}(x-a)^n-\frac{f^{(n)}(a)}{(n-1)!}(x-a)^{n-1}\right] \end{aligned} \]整理后，有 \[R'_n(a)=-\frac{f^{(n+1)}(a)}{n!}(x-a)^n \]积分，并且注意到$R_n(x)=0$，可得 \[R_n(a)=\int_a^x\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^ndt \]定理 26. (积分余项的Taylor展开) 设$f(x)$在区间中具有直到$n+1$阶的连续导函数。函数在$x=a$处的带积分余项的Taylor展开为 \[\begin{aligned} f(x)=&f(a)+f'(a)(x-a)+\cdots \\ &+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\int_a^x\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^ndt \end{aligned} \]由微分中值定理 \[\frac{R_n(a)-R_n(x)}{x-a}=\frac{R_n(a)}{x-a}=-R'_n(\xi)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi)^n \]整理后，可得Taylor展开的Cauchy余项表示 \[R_n(a)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-a)(x-\xi)^n \]记$h=x-a$, $\xi=a+\theta h$, $\theta\in(0,1)$，则Cauchy余项可以表示为 \[R_n(a)=\frac{f^{(n+1)}(a+\theta h)}{n!}h^{n+1}(1-\theta)^n \] 谢谢 vertical slide 2 目录 本节读完例 64. 谢 例 65. $\displaystyle f(x)=\begin{cases}x, 0\leq x\leq 1 \\ 2-x, 1 |
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