为了公式的简化和对称性，数学界一般定义一个量叫做三角形的半周长：

于是三角形ABC的面积可以简写为：

为了研究和书写的方便，我们需要给出下面一些量：

给出上面三个表达式不是无缘无故的。其实，这三个量所表示的是如下图所示的三种不同切线的长度。

以从点A发出的切线AE、AF为例，有：

也就是说，三角形顶点A到内切圆的切线长度(下图中红色线段)等于三角形半周长减去顶点A的对边长度a。同样地，顶点B和C到内切圆的切线的长度也可以类似求出。其实不用求，轮换字母便可以得到。

观察上图，则对上面切线长度的定义不难理解。整个三角形的周长可以看成六条切线长度之和，而从一顶点发出的两条切线一定等长(AE=AF，BF=BD，CD=CE)，所以，半周长就是不同顶点发出的三条切线的长度之和，也就是上图中不同三种颜色线段的长度之和，即p=AE+BF+CD。那么，红色线段长度AE就等于半周长减去蓝色线段长度BF再减去绿色线段长度CD，而“蓝+绿”等于BD+CD就是BC，即a。所以，AE=p-a。

上面这些基础知识是下面继续研究的基础。我们下面就要涉及旁切圆了。请看下图：

上图中，我们作出了与三角形顶点B相对的旁切圆，其圆心用IB表示，其半径用rB表示。旁切圆IB与顶点B的对边AC相切，切点为G；旁切圆与BA及BC的延长线也相切，切点分别为H和K。继续观察上图，发现线段AH用的是之前用过的绿色，线段CK用的也是之前用过的红色。这说明

AH=CD=CE=p-c， CK=AE=AF=p-a

但这是为什么呢？这是因为

AH+CK=AG+GC=AC=b

所以，

BH+BK=(BA+AH)+(BC+CK)

=(c+AH)+(a+CK)

=c+a+(AH+CK)

=c+a+b=2p

而BH=BK，所以，顶点B到与它相对的旁切圆的切线长BH和BK都等于半周长p。BH中，BF为蓝色，FA为红色，所以，线段AH一定为绿色。类似地，线段CK一定为红色。

继续观察上图，可以看出两个直角三角形BIF与BIBH相似。所以有：

(p-b) : p = r : rB

内项相乘等于外项相乘，即

rp= (p-b) rB

我们前面已经得出S=rp，所以，三角形ABC的面积还可以用旁切圆半径表示：

同理可以得到：

有了上面一系列的知识铺垫，我们就可以得到一些公式。第一个公式是：

证明过程如下：把刚才得到的四个面积公式即下面四个式子相乘：

得到

两边开平方，得

根据海伦公式：

所以，得到

第二个公式，是有关三角形内切圆半径与三个旁切圆半径之间关系的：

证明如下：把

改写成：

所以，

证毕。返回搜狐，查看更多