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线搜法的基本概念
与其说线搜法是一个方法，不如说它是一个过程：在算出的下降方向(dk ) 上计算移动步长(α)的过程。既然下降方向不是线搜法算出来的，说明线搜法不是单独使用的，而是需要嵌套在计算下降方向的方法中使用，比如梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法。 Armijo的实现步骤Armijo方法中需要用到几个参数： a>0 , σ∈(0,1) ，γ∈(0, 0.5) PS： a一般取a=1, σ 和 γ 的值需要根据收敛效果调整取值。根据个人的试验发现，σ 越大收敛速度越慢，γ 越大收敛速度越快。 然后得到一个关于步长α的点集： A = { α ∈ R : α = a σ j , j = 0 , 1 , . . . } A=\{ \alpha\in R: \alpha=a\sigma^j, j=0,1,... \} A={α∈R:α=aσj,j=0,1,...} 在这个方法中， 我们想要找到A集里最大的α，使得下面不等式成立： f ( x k + α d k ) − f ( x k ) ≤ γ α ▽ f ( x k ) ′ d k （ 1.1 ） f(x_k+\alpha d_k)-f(x_k) \le \gamma \alpha \bigtriangledown f(x_k)'d_k （1.1） f(xk+αdk)−f(xk)≤γα▽f(xk)′dk（1.1） 综上，代码里面的实现思路可以列为3个步骤： 1. 设 α=a, 设 σ 和 γ 的值。 2. 把上面的参数代入式子（1.1）中检验α是否满足条件；如果满足，则输出该α。 3. 如果不满足，则令 α = σ a \alpha =\sigma a α=σa 然后重复步骤2，检验新的α是否满足条件，直至找到满足条件的α。 Armijo代码 function [alpha_armijo] = armijo(x,d,f0,f1) % x是每次循环中得到的函数的解，d是下降方向 % f0是原目标函数， f1是目标函数的一次导数 alpha = 1; % a>0 gamma = 0.4; % 取值范围(0,0.5)越大越快 sigma = 0.5; % 取值范围(0,1)越大越慢 j = 1; %循环标志 while (j>0) x_new = x+alpha.*d; if f0(x_new(1),x_new(2)) eps %设置一个条件为一次导数的值大于可容误差的循环 d= - f_td; % 计算下降方向（最速下降法的定义噢） [alpha_armijo] = armijo_1(x0,d,f,F_td) %嵌套Armijo线搜法 xnew = x0 + alpha_armijo*d; %在起始点上通过Armijo得到的步长迭代出新的点。 % 在上面hold on的水平集里面画出新的迭代结果（点）。 plot([x0(1) xnew(1)],[x0(2) xnew(2)],'ko-') refresh x0 = xnew; %用迭代点覆盖起始点，每次循环就覆盖上一个点 f_td = F_td(x0(1),x0(2)) %计算出函数的一次导在迭代点上面的值，用于循环条件的判断 k = k+1; %迭代次数+1 end x = x0 %最后循环结束得到的最终迭代点就是函数的最优点 result = f(x(1),x(2)) %函数在该最优点的值（局部最小值）最后，以上的例子得到的图是这样的：
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