本节将介绍常微分方程初值问题的数值求解，主要内容分为三个部分：常微分方程数值求解的概念、求解函数及刚性问题。 一、常微分方程数值求解的一般概念 首先，凡含有参数，未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程，称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称作偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。 常微分方程数值求解，指研究求解初值问题各类数值方法的构造、理论分析与数值实现问题。研究的主要对象为一阶方程组初值问题： 其中，其中y=y(x)是未知函数,y(x0)=y0是初值条件,而f(x,y)是给定的二元函数。 所谓其数值解法，就是求y(x)在离散结点xn处的函数近似值yn 的方法 ，yn≈y(xn)。这些近似值称为常微分方程初值问题的数值解。相邻两个结点之间的距离称为步长。 这里主要介绍两种：单步法和多步法 单步法：在计算y(n+1)时只用到前一步的y(n)，因此在有了初值之后就可以逐步往下计算，其代表是龙格- - 库塔（ Runge- - Kutta ） 法 多步法：在计算y(n+1)时，除了用到前一步的值y(n)之外, , 还要用到y(n-p)（ p=1，2 ， … ，k，k＞0）的值, , 即前面的k步。其代表就是亚当斯 (Adams) 法 更多介绍可参见这个链接： https://wenku.baidu.com/view/cafe161b9a6648d7c1c708a1284ac850ad0204fc.html 二、常微分方程求解函数 MATLAB 提供了多个求常微分方程初值问题数值解的函数，一般调用格式为： [t,y]=solver(filename,tspan,y0,option) 其中，t和y分别给出时间向量和相应的数值解。solver为求常微分方程数值解的函数。filename 是定义 f(t ，y) 的函数名，该函数必须返回一个列向量。 tspan 形式为 [t0，tf]，表示求解区间。 y0 是初始状态向量。Option 是可选参数，用于设置求解属性，常用的属性包括相对误差值 RelTol(默认值是10的-3次方)和绝对误差值 AbsTol( ( 默认值是10的-6次方)。 常微分方程数值求解函数的统一命名格式： odennx ode是Ordinary Differential Equation 的缩写，是常微分方程的意思。 nn 是数字，代表所用方法的阶数。例如，ode23采用2阶龙格- - 库塔（ Runge- - Kutta ）算法 ，用3阶公式做误差估计来调节步长，具有低等精度。ode45 采用4阶龙格- - 库塔算 法 ，用5阶公式做误差估计来调节步长，具有中等精度。 x是字母，用于标注方法的专门特征。例如， ode15s 、ode23s 中的“s”代表（ Stiff ），表示函数适用于刚性方程。 下表列出了求常微分方程数值解的函数：

先看一个简单例子，y‘=y+3x/x^2，初值y(0)=-2，求解区间为[1,4]。

二、刚性问题 有一类常微分方程，其解的分量有的变化很快，有的变化很慢，且相差悬殊，这就是所谓的刚性问题 (Stiff) 。 对于刚性问题，数值解算法必须取很小步长才能获得满意的结果，导致计算量会大大增加。解决刚性问题需要有专门方法。非刚性算法可以求解刚性问题，只不过需要很长的计算时间。 例、假如点燃一个火柴，火焰球迅速增大直至某个临界体积，然后，维持这一体积不变，原因是火焰球内部燃烧耗费的氧气和从球表面所获氧气达到平衡。其简化模型如下： y’=y2-y3，y(0)=L，0 L=0.01; f=@(t,y) y^2-y^3; tic;[ t,y ]=ode45(f,[0,2/L],L); toc disp (['ode45 计算的点数' num2str(length(t))]); 时间已过 0.003704 秒。 ode45 计算的点数157 >> L=1e-5; f=@(t,y) y^2-y^3; tic;[ t,y ]=ode45(f,[0,2/L],L); toc disp (['ode45 计算的点数' num2str(length(t))]); 时间已过 1.010016 秒。 ode45 计算的点数120565 >> L=1e-5; f=@(t,y) y^2-y^3; tic;[ t,y ]=ode15s(f,[0,2/L],L); toc disp (['ode45 计算的点数' num2str(length(t))]); 时间已过 0.189977 秒。 ode45 计算的点数98

注：tic 和 toc 函数 用来记录 微分方程求解 命令执行的时间 ，使用 tic 函数启动计时器，使用 toc 函数显示从计时器启动到当前所经历的时间。 上述采用了三种不同方法，可以发现，第一种的运行结果表明这时常微分方程不算很刚性；第二种这时计算时间明显加长，计算的点数剧增，表明这时常微分方程表现为刚性；因此对于刚性问题，我们需要改变求解算法，我们选择以“s”结尾的函数，例如第三种方法他们专门用于求解刚性方程。计算时间大大缩短，计算的点数大大减少。 常微分方程数值解法的研究已发展得相当成熟，理论上也颇为完善，小编由于能力有限，只能了解个大概，本文讲解也就写的是比较基础的一些方面，如果大家有更多需求，可以自己查阅相关资料。

关于MATLAB的学习：

大家可以关注我们的知乎专栏——数据可视化和数据分析中matlab的使用： https://zhuanlan.zhihu.com/c_1131568134137692160

欢迎大家加入我们的MATLAB学习交流群： 953314432 扫码关注我们 发现更多精彩