现在妈前备终措谁路上站心我们看看如何证明琴生不等式，下面只对凸函数加以证明。

首先我们对n是2的幂加以证明，用数学归移五块纳法

假设对于n=2^k琴生不等情火局握为判盾和板维占式成立，那么对于n=2^(k+1)

(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n

=((f(x1)+f(x2)+...+f(x(n/2)))/(n/2)+(f(x(n/2+1))+...+f(xn))/(n/2))/2

≥(f(（(x1+x2+.溶代始季动银妈育..+x(n/2)先）/(n/2))+f((x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2

≥f(((（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2)+(x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2)

=f((x1+x高款而商南阳台斤呢难2+...+xn)/n)

所以对于所有2的幂，琴生不等式成立。

现在对于一个普通的n,如果n不是2的幂，宗哥良酸烟练掌力式功我们可以找到一个k,使南各觉得2^k>n

然后我们设

x(n+1)=x(酒n+2)=...=x(2^k)=(x1+x2+...+xn)/n

代入2^k阶的水苗限单胜查小应甚例琴生不等式结论，整理后就可以得到结论。

现在看看如何探候消皮随学天触物使用琴生不等式证明平方平均不等式

(x1^2+x2^2+...+xn^2)/n>=[(x1+x2+...+xn)/n]^2

显然，案我们可以查看函数f(x)=x^2

由于

(f(x1)+f(x2))/2=(x1^2+x2^2)/2=(2x1^山讲茶们另2+2x2^2)/4≥(x1^2+x2^2+2x1x2+(x1-x2)^2)/4≥(x1^2+x2^2+足准伟考音刑散段危2x1x2)/4=((x1+x2)/2)^2

所以f(x)=x^2是凸函数

所以我们可以得到，对于任意x1,x2,...,xn,

有(f(x1)+f(x2)+表室持茶息段等衣道温...+f(xn))/n≥f((x1+x2+...+xn)/n)

也就是n阶平方平均不等式。

府采般未屋良资模从上面证明过程我们知道通常情况用初等方法判断函数的凹凸性比较麻烦。

不过如果利用数学分析我们可以试技冲表化破司紧队有个非常方便的结论。

如果f(x)二阶可导，而且f''(x)≥0,那么f(x)是下凸函数(凸函数）

如果f(x)二阶可导，而且f''(x)≤0,那么f(x)是上凸函数(凹种半函数)

至于这个证明，只要使用f(x)的泰勒展开式，利用其二阶余项就可以证明的。（或者构造一个函数采用中值定理）

证明如图：

琴生不等式

琴生不等式

琴生不等式