球面調和関数①:シュレディンガー方程式からの導入 |
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水素原子などの球対称ポテンシャル を解くために、球面調和関数 ここでは 球面調和関数の導入するところまで扱う。角運動量演算子との関係については次の項で扱う。 目次 導入 極座標表示されたハミルトニアン 波動関数を距離と角度に分ける 球面調和関数 シュレディンガー方程式を解いていく 球面調和関数の具体的な式 まとめ 導入 われわれはシュレディンガー方程式を解くことで、電子の状態がわかる。 つまり電子の波動関数 シュレディンガー方程式中のハミルトニアン ![]() ![]() 球座標に変換する理由は、図のような水素原子などの系では球対称のポテンシャル つまり、電子の状態は原子からの距離 ![]()
いまの場合、クーロンポテンシャルは原子と電子の距離 また、
が導ける。 水素原子のように球対称のポテンシャル
を持つ場合、電子の波動関数
となる。 このような分離により、シュレディンガー方程式は微分方程式であるが、変数分離が使えそうである。 *ひとまず 球面調和関数を求めるときに * 動径 シュレディンガー方程式 に、極座標表示した となる。長い式であるが、
などはゼロとして進める( 結局、上の長い式は、 となる。ここで、 ここで、ルジャンドリアン
であることを用いる。この式は固有値方程式を表し、 式(1)と式(2)を比べて、
となる。したがって、エネルギー
![]()
とりあえず 「解いた」といっても実際は、すでに知られているルジャンドリアンの固有関数である球面調和関数 |
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