当我们再进行三重积分的时候，我们时常遇到积分域为椭圆的情况，例如 ( x / 2 ) 2 + y 2 + ( z − 1 ) 2 = 1 (x/2)^2+y^2+(z-1)^2=1 (x/2)2+y2+(z−1)2=1 我们平时使用极坐标法的时候，我们都是在球域下令 x = r ∗ s i n ( φ ) ∗ c o s ( θ ) x=r*sin(φ)*cos(θ) x=r∗sin(φ)∗cos(θ) y = r ∗ s i n ( φ ) ∗ s i n ( θ ) y=r*sin(φ)*sin(θ) y=r∗sin(φ)∗sin(θ) z = r ∗ c o s ( φ ) z=r*cos(φ) z=r∗cos(φ) 然后令： d v = r 2 ∗ s i n ( φ ) ∗ d r ∗ d φ ∗ d θ dv=r^2*sin(φ)*dr*dφ*dθ dv=r2∗sin(φ)∗dr∗dφ∗dθ 将所有x，y，z转化为上述的极坐标形式。然后就可以求解。

我们可以利用广义的极坐标变换来进行代换！🧙‍♀️🧙‍♂️🧙

那么广义的极坐标变换是什么呢?🙆‍♀️🙆‍♂️🙆

广义极坐标有些类似于换元法，将某一部分看作一个整体，从而对该整体进行极坐标变换。例如椭圆方程的标准形式，将(x/a)和(y/b)分别看作一个整体，这时利用极坐标变换，令x/a =rcosθ，y/b=rsinθ

接下来我们以为例子说明 ( x / a ) 2 + ( y / b ) 2 + ( z / c ) 2 = 1 (x/a)^2+(y/b)^2+(z/c)^2=1 (x/a)2+(y/b)2+(z/c)2=1 我们不难看出,其实椭圆域下的极坐标表达式,就是利用了换元的思想,将u=x/a,v =y/b,w=z/c

然后我们可以得到 u 2 + v 2 + w 2 = 1 u^2+v^2+w^2=1 u2+v2+w2=1 这不就标准的球域么😺😺😺!那么接下来就是令 u = r ∗ s i n ( φ ) ∗ c o s ( θ ) u=r*sin(φ)*cos(θ) u=r∗sin(φ)∗cos(θ) v = r ∗ s i n ( φ ) ∗ s i n ( θ ) v=r*sin(φ)*sin(θ) v=r∗sin(φ)∗sin(θ) w = r ∗ c o s ( φ ) w=r*cos(φ) w=r∗cos(φ) 然后我们可以得到: d v = a ∗ b ∗ c ∗ r 2 ∗ s i n ( φ ) ∗ d r ∗ d φ ∗ d θ dv=a*b*c*r^2*sin(φ)*dr*dφ*dθ dv=a∗b∗c∗r2∗sin(φ)∗dr∗dφ∗dθ 其实也就是乘上了各自的系数

接下来的就是纯数学计算了🐵

ps:如果出现了 ( x − 4 ) 2 + . . . . . . (x-4)^2+... ... (x−4)2+...... 这一类存在平移的现象,同理也是得到u,v,w,只不过u=(x-4)而已(实际上,如果只是有平移的话,对于dv没影响,只要令x-4=r*cos(θ)即可)

其实广义极坐标变换和我们在球域下差别不大,只要牢记一个思想,就是让我们最终代换的式子实现 u 2 + v 2 + w 2 = 1 u^2+v^2+w^2=1 u2+v2+w2=1即可