关于分析反馈反馈系统的基本方法：可以看我之前的文章              【模拟集成电路】反馈系统——基础到进阶（一）              【模拟集成电路】反馈系统——基础到进阶（二）   本文将对四种规范的反馈结构：电压-电压型（V-V）、电压-电流型(V-I)、电流-电流型(I-I)和电流-电压型(I-V)，通过二端口网络方法，考虑加载效应对闭环反馈的影响，并对相关参数进行说明。 反馈分析的困难

  在求解反馈系统时，常规方法遵循以下步骤   ①在合适的位置断开反馈环路，求出开环增益、输入和输出阻抗；   ②根据开环增益确定“环路增益”，从其开环电路中确定各个闭环参数；   ③用闭环增益对闭环系统进行分析；

  事实上上述步骤只能“不精确”的解决“小部分”问题，而实际电路往往是复杂的，如果想精确的对电路进行分析求解，那么需要了解反馈分析的五个“困难”。   （1）由于“加载”效应，反馈环路会对前馈电路部分产生影响，只有默认反馈环路对前馈电路部分不产生影响时，才能直接将环路开环，因此直接断开环路是“不精确”的；   （2）大多数反馈系统，无法明确的分解成“前馈网络”和“反馈网络”；   （3）大多数反馈系统，不易被映射到规范的反馈结构（电压-反馈？/电压-电流反馈？）；   （4）对反馈系统的分析，默认反馈环路中信号是沿着“正确的”单向流动的，而实际的信号流动方向是复杂的。   （5）大多数电路系统，包含多个环路，难以分析。

上述反馈分析的困难，汇总与下表。   对于上述反馈分析的困难，可以采用二端口方法、波特方法和麦德布鲁克方法进行更加精确的求解，如表2所示。具体细节后续展开。

  二端口网络方法，在考虑加载效应时，将环路进行开环，计算求得开环和闭环的环路增益，为简化计算，规定信号是单向流动的，即忽略前馈网络的反馈和反馈网络的前馈，该方法仅适用于规范的结构。

  若将信号流动简化为单向流动，则二端口网络可简化为图2.1。   但是实际信号流动是双向的，简化二端口模型通常不能满足要求，因此通过二端口网络方法对反馈系统分析，需要更加精确的二端口网络模型，精确的二端口网络模型如图2.2所示。其中图2.1（a）为“Z模型”由串联的输入和输出阻抗和电流控制电压源组成；图2.1（b）为“Y模型”由并联的输入和输出导纳和电压控制电流源组成；图2.1（c）和（d）为“混合模型”由阻抗、导纳、电压源和电流源组成。   上述四种模型分别可以由两个方程描述   其中应该注意，（1） Y 11 Y_{11} Y11​与 Z 11 Z_{11} Z11​的倒数可能不相等，因为二者是在不同条件下得到的：前者是在输出短路时得到的，而后者是在输出开路时得到的；（2）以Z模型为例，Z11不一定等于Zin，因为输入阻抗是输出保持开路时求得；（2） Z 22 Z_{22} Z22​不一定等于 Z o u t Z_{out} Zout​，前者是由输入开路计算，Zout是输入短路时计算；（4）在精确模型中，考虑了信号的反馈（输入回路中输出回路控制）。

  如本节开始所讲，在运用如图2.2所示的模型时，默认信号单向流动，忽略前馈网络的反馈和反馈网络的前馈。   对于电压-电压反馈，前馈网络的输出为受控电压源，输入控制量也为电压信号，因此适用于G模型，同理对于反馈网络，反馈网络的输出为受控电压源，输入控制量为电压信号，也同样适用于G模型。电压-电压反馈的电路模型如图2.3所示。   对二端口网络进行分析，由KCL和KVL有   求解得到   整理成闭环增益形式 A ν , o p e n / ( 1 + β A ν , o p e n ) A_{\nu,open}/(1+\beta A_{\nu,open}) Aν,open​/(1+βAν,open​)，将式（2.6）分子分母除以 ( 1 + g 22 / Z i n ) ( 1 + g 11 Z o u t ) (1+g_{22}/Z_{in})(1+g_{11}Z_{out}) (1+g22​/Zin​)(1+g11​Zout​) 得到   对比闭环增益形式，得到开环电压增益 A ν , o p e n A_{\nu,open} Aν,open​ 反馈系数 β \beta β   对开环增益进行分析，得到开环增益可以拆解成式（2.9）的形式   其中第一项 1 + g 22 / Z i n = ( Z i n + g 22 ) / Z i n 1+g_{22}/Z_{in}=(Z_{in}+g_{22})/Z_{in} 1+g22​/Zin​=(Zin​+g22​)/Zin​，其倒数 Z i n / ( Z i n + g 22 ) Z_{in}/(Z_{in}+g_{22}) Zin​/(Zin​+g22​)为阻抗分压形式；第三项 1 + g 11 Z o u t = ( g 11 − 1 + Z o u t ) / g 11 − 1 1+g_{11}Z_{out}=(g_{11}^{-1}+Z_{out})/g_{11}^{-1} 1+g11​Zout​=(g11−1​+Zout​)/g11−1​，它的倒数 g 11 − 1 / ( g 11 − 1 + Z o u t ) g_{11}^{-1}/(g_{11}^{-1}+Z_{out}) g11−1​/(g11−1​+Zout​) 代表另一个分压器，因此开环电路可以等效成图2.4的形式   根据Z模型的数学表达式（2.4），可以对 g 11 g_{11} g11​ 和 g 22 g_{22} g22​ 进行求解   根据数学公式可知， g 11 g_{11} g11​ 可以通过使反馈网络输出开路（I2=0）得到， g 22 g_{22} g22​ 可以通过使反馈网络输入短路（V1=0）得到，如图2.4（b）。由图2.3，对反馈系数进行求解，反馈网路为G模型，因此反馈系数   注意，方向问题，在G模型中，I2的正方向是从V2灌进去的，因此实际电路中，该方向应该小心，如图2.5所示。

  默认信号单向流动，忽略前馈网络的反馈和反馈网络的前馈。   对于电流-电压反馈，前馈网络的输出为受控电流源，输入控制量为电压信号，因此适用于Y模型；对于反馈网络，反馈网络的输出为受控电压源，输入控制量为电流信号，适用于Z模型。电流-电压反馈的电路模型如图2.3所示。   其 Y 21 Y_{21} Y21​为前馈网络的跨导增益Gm，参考分析式（2.9），同理 ( 1 + z 22 Y 11 ) − 1 \left(1+z_{22}Y_{11}\right)^{-1} (1+z22​Y11​)−1 和 ( 1 + z 11 Y 22 ) − 1 \left(1+z_{11}Y_{22}\right)^{-1} (1+z11​Y22​)−1 分别对应开环结构输入端和输出端的两个分压器和分流器，则带有加载效应的开环放大器如图2.7所示。   根据式(2.1)，通过对Z模型数学求解，可以得到 z 11 z_{11} z11​ 和 z 22 z_{22} z22​   注意，方向问题，在Z模型中，I1的正方向是从V1灌进去的，实际电路如图2.8所示。

  默认信号单向流动，忽略前馈网络的反馈和反馈网络的前馈。   对于电压-电流反馈，前馈网络的输出为受控电压源，输入控制量为电流信号，因此适用于Z模型；对于反馈网络，反馈网络的输出为受控电流源，输入控制量为电压信号，适用于Y模型。电压-电流反馈的电路模型如图2.10所示。   其 Z 21 Z_{21} Z21​为前馈网络的跨阻增益Rm，参考分析式（2.9），同理 ( 1 + y 22 Z 11 ) − 1 \left(1+y_{22}Z_{11}\right)^{-1} (1+y22​Z11​)−1 和 ( 1 + y 11 Z 22 ) − 1 \left(1+y_{11}Z_{22}\right)^{-1} (1+y11​Z22​)−1分别对应开环结构输入端的分流器和输出端的分压器，则带有加载效应的开环放大器如图2.11所示。   根据式(2.2)，通过对Y模型数学求解，可以得到 y 11 y_{11} y11​ 和 y 22 y_{22} y22​   根据数学公式可知， y 11 y_{11} y11​ 可以通过使反馈网络输出短路（V2=0） 得到， y 22 y_{22} y22​ 可以通过使反馈网络输入短路（V1=0） 得到，如图2.11所示开环原理图。对反馈系数进行求解，反馈网路为Y模型，因此反馈系数根据式（2.2）   注意，方向问题，在Y模型中，I2的正方向是从V2灌进去的，实际电路如图2.8所示。   根据图2.12(b)，可以有 V o u t = I i n R F ∙ [ − g m ( R F ∥ R D ) ] V_{out}=I_{in}R_F\bullet[-g_m(R_F\parallel R_D)] Vout​=Iin​RF​∙[−gm​(RF​∥RD​)]，即开环跨阻增益   在这个电路图中，可以发现一个不一致，根据加载效应计算出来的环路增益为 g m ( R F ∥ R D ) g_m(R_F\parallel R_D) gm​(RF​∥RD​) ，如果直接将RF与M1栅极断开，求出的环路增益为 g m R D g_mR_D gm​RD​ ，这个不一致也将会影响通过开环参数对闭环参数的评估，可以预测，两个环路增益求出的闭环参数也将有所差别。关于两种方法的不一致，可以进行讨论，首先直接断环不考虑加载效应，这样的环路增益当然是不准确的，但是对于考虑加载效应的断开环路，在前文假设中可以知道，此方法假设信号是单向流动的，忽略的前馈网络中的反馈，以及反馈网络中的前馈，因此该方法也同样会产生误差，所以，两个结果的不一致，来源于模型近似的性质。

  默认信号单向流动，忽略前馈网络的反馈和反馈网络的前馈。   对于电流-电流反馈，前馈网络的输出为受控电流源，输入控制量为电流信号，因此适用于H模型；对于反馈网络，反馈网络的输出为受控电流源，输入控制量为电流信号，适用于H模型。电流-电流反馈的电路模型如图2.10所示。   其 H 21 H_{21} H21​ 为前馈网络的跨阻增益Rm，参考分析式（2.9），同理 ( 1 + h 22 H 11 ) − 1 \left(1+h_{22}H_{11}\right)^{-1} (1+h22​H11​)−1 和 ( 1 + h 11 H 22 ) − 1 \left(1+h_{11}H_{22}\right)^{-1} (1+h11​H22​)−1 分别对应开环结构输入端和输出端的分流器，则带有加载效应的开环放大器如图2.14所示。   对于H模型，根据（2.3）可知。   根据数学公式可知， h 11 h_{11} h11​ 可以通过使反馈网络输出开路（I2=0）得到， h 22 h_{22} h22​ 可以通过使反馈网络输入短路（V1=0）得到，如图2.14所示开环原理图。对反馈系数进行求解，反馈网路为H模型，因此反馈系数根据式（2.3）可知   一个电流-电流反馈的电路图，如图2.15所示   易得开环电流增益   根据式（2.32），令V2=0，反馈网络输出电流与反馈网络输入电流之比即为反馈系数，正反向为灌入电压节点方向，即I2灌入V2为正方向，V2=0相当于从GND流进 R F R_{F} RF​方向为正方向，因此   因此可以得到闭环电流增益为

  对于考虑加载效应的反馈环路，可以按照如下步骤进行求解：   （1）断开含有完全加载的环路，计算开环增益 A O L A_{OL} AOL​ 及开环输入和输出阻抗；   （2）确定反馈系数β，得出环路增益 β A O L βA_{OL} βAOL​   （3）将开环的各个值通过比例因子 1 + β A O L 1+βA_{OL} 1+βAOL​ 的变化，计算闭环增益、输入和输出的阻抗。

  如图3.1，为四种典型反馈带加载的开环原理图，定义反馈系数 β β β 的式子中，脚标1和2分别代表反馈网络的输入和输出端口。   若不考虑加载效应，直接断开环路，环路增益如图3.2所示   图3.2中环路增益可以表示为式（3.1）   通过图3.2求得的环路增益，与通过图3.1得到的环路增益，会存在不一致，这个不一致也将会影响通过开环参数对闭环参数的评估，可以预测，两个环路增益求出的闭环参数也将有所差别。

  关于两种方法的不一致，可以进行讨论，首先直接断环不考虑加载效应，这样的环路增益当然是不准确的，但是对于考虑加载效应的断开环路，在前文假设中可以知道，此方法假设信号是单向流动的，忽略的前馈网络中的反馈，以及反馈网络中的前馈， 因此该方法也同样会产生误差，所以，两个结果的不一致，来源于模型近似的性质。

  对于反馈系统的求解，也可选择不断开环路的 “波特方法” 和 “麦德布鲁克方法” ，这两种方法，后续补充。

      【模拟集成电路】反馈系统——基础到进阶（一）       【模拟集成电路】反馈系统直接开环——基础到进阶（二）       【模拟集成电路】反馈系统加载效应——基础到进阶（三）