给定输入信号 X ∈ R N × 1 \boldsymbol{X} \in \mathbb{R}^{N\times1} X∈RN×1，最终想要得到压缩信号 A ∈ R M × 1 \boldsymbol{A} \in \mathbb{R}^{M\times1} A∈RM×1， K < < N K1,⋯,N},∣T∣≤2K。

李树涛，魏丹.压缩传感综述[J]. 自动化学报，2009，35(11)：1369-1377.

需要设计一个平稳的、与变换基 Ψ \boldsymbol{\Psi} Ψ 不相关的 M × N M \times N M×N 维观测矩阵 Φ \boldsymbol{\Phi} Φ ，对 Y \boldsymbol{Y} Y 进行观测得到观测矩阵 A = Φ X = Φ Ψ Y \boldsymbol{A}=\boldsymbol{\Phi}\boldsymbol{X}=\boldsymbol{\Phi} \boldsymbol{\Psi} \boldsymbol{Y} A=ΦX=ΦΨY 该过程也可以表示为信号 $ \boldsymbol{Y}$ 通过矩阵 Θ \boldsymbol{\Theta} Θ 进行非自适应观测： A = Θ Y \boldsymbol{A}=\boldsymbol{\Theta}\boldsymbol{Y} A=ΘY

其中 Θ = Φ Ψ \boldsymbol{\Theta}=\boldsymbol{\Phi} \boldsymbol{\Psi} Θ=ΦΨ。需要关注的问题是观测矩阵 Φ \boldsymbol{\Phi} Φ 的选取，需要保证稀疏向量 Y \boldsymbol{Y} Y 从 N N N 维降到 M M M 维时重要信息不被破坏。在压缩感知理论中, 有限等距性质是判断矩阵是否可以成为测量矩阵的一个重要的标准。

对于 K K K 稀疏向量 Y ∈ R N \boldsymbol{Y} \in \boldsymbol{R}^{N} Y∈RN 来说，当它满足如下公式时，传感矩阵 Θ \boldsymbol{\Theta} Θ 满足有限等距性质。 ( 1 − ε ) ∥ Y ∥ 2 ⩽ ∥ Θ Y ∥ 2 ⩽ ( 1 + ε ) ∥ Y ∥ 2 (1-\varepsilon)\|\boldsymbol{Y}\|_{2} \leqslant\|\boldsymbol{\Theta} \boldsymbol{Y}\|_{2} \leqslant(1+\varepsilon)\|\boldsymbol{Y}\|_{2} (1−ε)∥Y∥2​⩽∥ΘY∥2​⩽(1+ε)∥Y∥2​

李坤，马彩文，李艳，陈萍. 压缩感知重构算法综述[J]. 红外与激光工程，2013，42(z1)：225-232.

最多人引用的出处

英文原文：

整理归纳翻译，并改变字母如下：

假设 F \boldsymbol{F} F 是有限个列向量 v j ∈ R P × 1 \boldsymbol{v}_j \in \boldsymbol{R}^{P\times 1} vj​∈RP×1 的集合矩阵，其中 j ∈ J j\in J j∈J

对于任意整数 K K K ， 1 ≤ K ≤ ∣ J ∣ 1\leq K\leq \left| J\right| 1≤K≤∣J∣，我们定义 K K K 阶有限等距系数 δ K \delta_{K} δK​ 为满足下式的最小值 ( 1 − δ K ) ∥ c ∥ 2 ≤ ∥ F T c ∥ 2 ≤ ( 1 + δ K ) ∥ c ∥ 2 \left(1-\delta_{K}\right)\|\boldsymbol{c}\|^{2} \leq\left\|\boldsymbol{F}_T \boldsymbol{c}\right\|^{2} \leq\left(1+\delta_{K}\right)\|\boldsymbol{c}\|^{2} (1−δK​)∥c∥2≤∥FT​c∥2≤(1+δK​)∥c∥2 式中的 T T T 为 J J J 的任意子集 T ⊂ J T\sub J T⊂J ，元素个数最大为 K K K ， c \boldsymbol{c} c 可以是多个任意实数作为系数 c j c_j cj​ 构成的向量，其中 j ∈ T j\in T j∈T

个人注释：