空间直线的三种方程转换关系 – PP's Blog

2023-07-15 06:45| 来源: 网络整理| 查看: 265

1. 方程类型 1.1 一般方程

\begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \\\end{cases}

可看作用两个平片确定的交线

1.2 对称方程（点向式方程）

\begin{align}\frac{x-X_p}{X_d} = \frac{y-Y_p}{Y_d} = \frac{z-Z_p}{Z_d}\end{align}

可看作从 p 点\((X_p,Y_p,Z_p)\)出发（可以往两边走），方向由向量d 即 \((X_d,Y_d,Z_d)\) 决定的直线

1.3 参数方程

\begin{cases}x=tX_d+X_p \\y=tY_d+Y_p \\z=tZ_d+Z_p\end{cases}

和对称方程没有区别，仅形式改了下，可看作从 p 点\((X_p,Y_p,Z_p)\)出发（可以往两边走），方向由向量d 即 \((X_d,Y_d,Z_d)\) 决定的直线

2. 转换方式从\至一般方程对称方程参数方程一般方程–1.求两平面法向量的叉积，为方向d

2.求两平面任意一个交点作为起点p，注2

1.求两平面法向量的叉积，为方向d

2.求两平面任意一个交点作为起点p，注2

对称方程1. 找两个垂直于向量d 的非平行向量作为两平面的法向量，注12. 根据p求出偏移量 \(D\)–直接对应着变形参数方程1. 找两个垂直于d的非平行向量作为两平面的法向量，注12. 根据p求出偏移量 \(D\)直接对应着变形–

注1：如对于向量 (1,1,1) ，为了找两个垂直它的向量，可以先随意拍两个值，不要全零就行，作为前2维，第三维保留未知。如(1,2,z)。令点积为0即可求出z。1*1+1*2+z = 0 ,即 z=-3。这样就得到一个垂直向量，同样方法换一下前两值就可以再得到一个垂直向量。

注2:相当于解三元一次方程组，仅两个方程，可令其中一元为某个固定值，求解即可

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