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伊索寓言《狼来了》讲述了这样一个故事：

在一个村子里，有一位放羊的少年。他为了打发无聊，向村民们撒谎喊道“狼来了！”。村民们听到后，纷纷拿着武器出来准备驱赶狼，少年却说这只是恶作剧，然后自己大笑着回家了。少年这样撒谎了好几次，村民们每次都被骗。

有一天，当狼真的出现在少年面前时，他又大喊“狼来了！”。但是村民们互相提醒道“再也别上当了”，因此都没有去帮助他。少年因此失去了所有的羊。

这是一个告诫人们不要撒谎的故事。但是，如果真的遇到喊”狼来了“的少年，大家到底要不要相信他呢？

让我们使用贝叶斯定理来分析一下这个故事。

我们先假设村民们最开始是非常信任少年的。此时，少年撒谎的概率设为0.1，说真话的概率设为0.9（先验概率）。

在少年说真话的情况下，我们再假设，在听到少年喊“狼来了”之后，狼真的被发现的概率为0.8。剩下0.2的概率是狼来了后又逃跑了，没有被村民们看见的情况。

另一方面，在少年撒谎的情况下，我们假设发现狼的概率为0.3。即在少年撒谎时，狼没有被村民看见的概率为0.7。

有一天，少年大喊“狼来了”。但是村民们并没有发现狼。造成这个结果的原因有两种。一是少年说的是真话，但是狼逃跑了；二是少年在撒谎，而且狼实际上并没有出现。

这时，用贝叶斯定理去计算少年撒谎的概率（后验概率），得到的结果为0.28。也就是说，少年撒谎的概率从最开始10%的先验概率，上升到了28%。

因为没有发现狼，村民们前往救援，却扑了一场空。对于村民们来说，少年撒谎的概率由最开始的10%上升到了28%。那么，这样的扑空（去救援却没有发现狼）如果重复第2次、第3次，少年撒谎的概率又会如何变化呢？

经过5次扑空后，村民们会确信“少年在撒谎”

下图显示了少年撒谎的概率变化。最开始只有10%的概率，经过第1次扑空后变为28%，第2次扑空后上升到57.6%，第3次后变为82.7%，第4次后变为94.3%，第5次后会上升到98.3%。到了这个阶段，村民们几乎已经确信“少年在撒谎”了。如果再听到少年喊“狼来了”，估计就不会再去援助了。

像这样，在某件事反复发生时，其后验概率会不断地被更新（update）。这被称为“贝叶斯更新”。即使最初的先验概率缺乏客观性，通过贝叶斯更新不停地迭代，得到的后验概率的可信度会逐渐升高。

在第6次，如果狼真的来了会怎么样？

假设前面5次村民们都扑了空，在第6次听到“狼来了”时，狼真的来了。这时，少年撒谎的后验概率由98.3%下降到95.6%。如果第7次狼又真的来了，少年撒谎的后验概率虽然下降到89.1%，但仍然是很高的数值。在少年撒谎的概率逐渐升高后，就算狼真的出现一两次，村民们认为少年说真话的概率也不会马上升到很高。

美国政治学家阿尔伯特·沃尔斯泰特（Albert Wohlstetter，1913～1997）把听到反复警告后反应变得迟钝的倾向称为“狼来了综合征”，并把它作为二战时美军没能成功预测日军突袭珍珠港的原因。

本文摘编自《科学世界》2021年第6期《贝叶斯统计》，阅读全文可进入“科学世界微店”购买本期杂志。

新媒体编辑 | 张丽君

审核 | 周辉

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