Author：AXYZdong 自动化专业 工科男 有一点思考，有一点想法，有一点理性！ 定个小小目标，努力成为习惯！在最美的年华遇见更好的自己！

一组变量 → { 1 、足以完全确定系统运动状态 2 、个数又是最小 一组变量 \to \begin{cases} 1、足以完全确定系统运动状态 \\ 2、个数又是最小 \end{cases} 一组变量→{1、足以完全确定系统运动状态2、个数又是最小​

性质： { 1 、 x t = t 0 2 、 t ≥ t 0 时刻的输入 I t → 完全确定在任何 t ≥ t 0 时刻的状态 x t 性质： \begin{cases} 1、x_{t=t_0} \\ 2、t \geq t_0 时刻的输入I_t \end{cases} \to完全确定在任何t \geq t_0 时刻的状态 x_t 性质：{1、xt=t0​​2、t≥t0​时刻的输入It​​→完全确定在任何t≥t0​时刻的状态xt​

类似于函数： x t = f ( x t 0 , I t ) x_t=f(x_{t_0},I_t) xt​=f(xt0​​,It​)

x ( t ) = ( x 1 ( t ) x 2 ( t ) ⋮ x n ( t ) ) x(t)=\begin{pmatrix} x_1(t) \\ x_2(t)\\ \vdots \\ x_n(t) \\ \end{pmatrix} x(t)=⎝⎜⎜⎜⎜⎛​x1​(t)x2​(t)⋮xn​(t)​⎠⎟⎟⎟⎟⎞​

例：以 R − L − C R-L-C R−L−C 电路说明如何用状态变量描述系统

有一阶微分方程组： { C ⋅ d u c d t = i L ⋅ d i d t + R i + u c = u    ⟹    { u ˊ c = 1 C ⋅ i i ˊ = − 1 L u c − R L i + 1 L u (1) 有一阶微分方程组： \begin{cases} C\cdot\frac{du_c}{dt}=i \\[2ex] L\cdot\frac{di}{dt}+Ri+u_c=u \end{cases} \implies \begin{cases} \acute{u}_c=\frac{1}{C}\cdot i \\[2ex] \acute{i}=-\frac{1}{L}u_c-\frac{R}{L}i+\frac{1}{L}u \end{cases} \tag1 有一阶微分方程组：⎩⎪⎨⎪⎧​C⋅dtduc​​=iL⋅dtdi​+Ri+uc​=u​⟹⎩⎪⎨⎪⎧​uˊc​=C1​⋅iiˊ=−L1​uc​−LR​i+L1​u​(1)

令 { x 1 = u c x 2 = i    ⟹    ( x 1 ˊ x 2 ˊ ) = ( 0 1 C − 1 L − R L ) ( x 1 x 2 ) + ( 0 1 L ) u (2) 令 \begin{cases} x_1=u_c \\[2ex] x_2=i \end{cases} \implies \begin{pmatrix} \acute{x_1}\\[2ex] \acute{x_2}\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \large\frac{1}{C}\\[2ex] \large-\frac{1}{L} & \large-\frac{R}{L}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\[2ex] x_2\\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0\\[2ex] \large\frac{1}{L}\\ \end{pmatrix}u \tag2 令⎩⎪⎨⎪⎧​x1​=uc​x2​=i​⟹(x1​ˊ​x2​ˊ​​)=⎝ ⎛​0−L1​​C1​−LR​​⎠ ⎞​(x1​x2​​)+⎝ ⎛​0L1​​⎠ ⎞​u(2)

或： x ˊ = A x + b u 或 ： \acute{x}=Ax+bu 或：xˊ=Ax+bu

其中： x ˊ = ( x 1 ˊ x 2 ˊ ) ， A = ( 0 1 C − 1 L − R L ) ， b = ( 0 1 L ) 其中：\acute{x}= \begin{pmatrix} \acute{x_1}\\[2ex] \acute{x_2}\\ \end{pmatrix}， A= \begin{pmatrix} 0 & \large\frac{1}{C}\\[2ex] \large-\frac{1}{L} & \large-\frac{R}{L}\\ \end{pmatrix}， b= \begin{pmatrix} 0\\[2ex] \large\frac{1}{L}\\ \end{pmatrix} 其中：xˊ=(x1​ˊ​x2​ˊ​​)，A=⎝ ⎛​0−L1​​C1​−LR​​⎠ ⎞​，b=⎝ ⎛​0L1​​⎠ ⎞​

上述（1）和（2）式分别为图1中系统的 状态方程 和 状态方程的矩阵表达形式。

或： y = x 1 (3) 或： y=x_1\tag3 或：y=x1​(3)

矩阵表示形式：

y = ( 1 , 0 ) ( x 1 x 2 ) (4) y= \begin{pmatrix} 1,0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix}\tag4 y=(1,0​)(x1​x2​​)(4)

x ˊ = A x + b u y = c x (5) \acute{x}=Ax+bu\\ y=cx \tag5 xˊ=Ax+buy=cx(5)

式中，

x = ( x 1 x 2 ⋮ x n ) 为 n 维状态矢量； A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ) 为系统内部状态的联系，称为系统矩阵 , 为 n × n 方阵； b = ( b 1 b 2 ⋮ b n ) 为输入对状态的作用，称为输入矩阵或控制矩阵，这里为 n × 1 的列阵； c = ( c 1 , c 2 , . . . , c n ) 为输出矩阵，这里为 1 × n 的行阵。 x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\\ \vdots \\ x_n \\ \end{pmatrix} 为 n 维状态矢量；\\[3ex] A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix}为系统内部状态的联系，称为系统矩阵,为n\times n方阵； \\[3ex] b=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2\\ \vdots \\ b_n \\ \end{pmatrix} 为输入对状态的作用，称为输入矩阵或控制矩阵，这里为n\times 1的列阵； \\[3ex] c=\begin{pmatrix} c_1 , c_2 ,...,c_n \\ \end{pmatrix} 为输出矩阵，这里为1\times n的行阵。 x=⎝⎜⎜⎜⎜⎛​x1​x2​⋮xn​​⎠⎟⎟⎟⎟⎞​为n维状态矢量；A=⎝⎜⎜⎜⎜⎛​a11​a21​⋮an1​​a12​a22​⋮an2​​⋯⋯⋱⋯​a1n​a2n​⋮ann​​⎠⎟⎟⎟⎟⎞​为系统内部状态的联系，称为系统矩阵,为n×n方阵；b=⎝⎜⎜⎜⎜⎛​b1​b2​⋮bn​​⎠⎟⎟⎟⎟⎞​为输入对状态的作用，称为输入矩阵或控制矩阵，这里为n×1的列阵；c=(c1​,c2​,...,cn​​)为输出矩阵，这里为1×n的行阵。

x ˊ = A x + B u y = C x + D u (6) \acute{x}=Ax+Bu\\ y=Cx+Du\tag6 xˊ=Ax+Buy=Cx+Du(6)

式中， x 和 A 同单输入系统，分别 n 维状态矢量和 n × n 系统矩阵 式中，x和 A同单输入系统，分别n维状态矢量和n\times n系统矩阵 式中，x和A同单输入系统，分别n维状态矢量和n×n系统矩阵

u = ( u 1 u 2 ⋮ u r ) 为 r 维输入矢量； y = ( y 1 y 2 ⋮ y m ) 为 m 维输出矢量； B = ( b 11 b 12 ⋯ b 1 r b 21 b 22 ⋯ b 2 r ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ b n 1 b n 2 ⋯ b n r ) 为 n × r 输入矩阵； C = ( c 11 c 12 ⋯ c 1 n c 21 c 22 ⋯ c 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ c m 1 c m 2 ⋯ c m n ) 为 m × n 输出矩阵； D = ( d 11 d 12 ⋯ d 1 r d 21 d 22 ⋯ d 2 r ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ d m 1 d m 2 ⋯ d m r ) 为 m × r 直接传递矩阵。 为了简便，一般不考虑输入矢量的直接传递，即令 D = 0 u=\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2\\ \vdots \\ u_r \\ \end{pmatrix} 为 r 维输入矢量； y=\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2\\ \vdots \\ y_m \\ \end{pmatrix} 为 m 维输出矢量；\\[3ex] B=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1r} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2r} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nr} \\ \end{pmatrix}为n\times r输入矩阵；\\[3ex] C=\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{m1} & c_{m2} & \cdots & c_{mn} \\ \end{pmatrix}为m\times n输出矩阵； \\[3ex] D=\begin{pmatrix} d_{11} & d_{12} & \cdots & d_{1r} \\ d_{21} & d_{22} & \cdots & d_{2r} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ d_{m1} & d_{m2} & \cdots & d_{mr} \\ \end{pmatrix}为m\times r直接传递矩阵。\\[2ex] 为了简便，一般不考虑输入矢量的直接传递，即令D=0 u=⎝⎜⎜⎜⎜⎛​u1​u2​⋮ur​​⎠⎟⎟⎟⎟⎞​为r维输入矢量；y=⎝⎜⎜⎜⎜⎛​y1​y2​⋮ym​​⎠⎟⎟⎟⎟⎞​为m维输出矢量；B=⎝⎜⎜⎜⎜⎛​b11​b21​⋮bn1​​b12​b22​⋮bn2​​⋯⋯⋱⋯​b1r​b2r​⋮bnr​​⎠⎟⎟⎟⎟⎞​为n×r输入矩阵；C=⎝⎜⎜⎜⎜⎛​c11​c21​⋮cm1​​c12​c22​⋮cm2​​⋯⋯⋱⋯​c1n​c2n​⋮cmn​​⎠⎟⎟⎟⎟⎞​为m×n输出矩阵；D=⎝⎜⎜⎜⎜⎛​d11​d21​⋮dm1​​d12​d22​⋮dm2​​⋯⋯⋱⋯​d1r​d2r​⋮dmr​​⎠⎟⎟⎟⎟⎞​为m×r直接传递矩阵。为了简便，一般不考虑输入矢量的直接传递，即令D=0

状态空间描述的结构图绘图步骤：

常用符号：

例：一阶标量微分方程： x ˊ = a x + b u \acute{x}=ax+bu xˊ=ax+bu

已知状态空间表达式

x 1 ˊ = x 2 x 2 ˊ = x 3 x 3 ˊ = − 6 x 1 − 3 x 2 − 2 x 3 + u y = x 1 + x 2 \acute{x_1}=x_2\\ \acute{x_2}=x_3\\ \acute{x_3}=-6x_1-3x_2-2x_3+u\\ y=x_1+x_2 x1​ˊ​=x2​x2​ˊ​=x3​x3​ˊ​=−6x1​−3x2​−2x3​+uy=x1​+x2​

则系统的模拟结构图为：

  本次的分享就到这里

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