我们在初中时就接触过锐角三角函数，但事实上我们完全可以定义“任意角”三角函数，当这个角小于90°时，它就退化成初中的“锐角三角函数”了。

现在就让我给出它的定义：

在平面直角坐标系xOy中设∠α的始边为x轴的正半轴，设坐标为（x，y）的点P为∠α的终边上不与原点O重合的任意一点，设r=OP，则：

为什么能这样定义呢？因为直角三角形的一个角确定了，那么我们就可以据此求出另外2个角，而不论r多长，只要角度是不变的，那么这两个图形会相似，也就是对应边成比例，那么它的各个边之间的比当然也就不变。

还有一个表格，想必学过三角函数的会十分熟悉：

不难发现，上面的“特殊角”的三角函数值都是精确数。

那，这些精确值是怎么求出来的呢？

我曾经有一个很滑稽的想法：我们想求∠α的三角函数值，我们就画一个∠α，然后量出点P的坐标，再根据三角函数的定义不就求出∠α的三角函数值了吗？

但是很遗憾，这只能得到一个很粗略的近似值，这样子不论如何都是不可能得出精确值的。

显然，精确值是可以求出的，不然就没有上面那张表了。

既然可以求，我们又该怎么求呢？

我们先不求“任意角”，我们先从特殊角入手。

首先来看一个简单的：∠α=45°

我们可以很容易地画出图形：

我们同样可以知道这个三角形是一个等腰直角三角形，则有x=y，不妨假设x=y=1，那么根据勾股定理可以求出r=√2.那么∠α的三角函数值就可以求了，毕竟折腾来折腾去都是这三个值：x、y、r。

于是有：

我们已经成功解决了其中一个特殊角，不妨再来看另外一个特殊角∠α=30°。

同样很容易画出图形：

我们可以求出这个三角形的另外一个角是60°。还有一个角是30°。60°正好是30°的2倍，且三个角都是60°的三角形是等边三角形，那么就不免让人想凑一个等边三角形出来。

怎么凑？我们可以以x轴为这个三角形的对称轴，作这个三角形的轴对称图形，于是有：

这个三角形的三个角都是60°，我们凑了一个等边三角形出来。等边三角形的三条边都相等，我们不难看出这个等边三角形的三条边分别是r、r、2y。

也就有：

r=r=2y

不妨假设y=1，那么可以据此求出r=2，根据勾股定理可以求出x=√（4-1）=√3.

那么我们又一次求出了∠α=30°三条边的值，那么∠α=30°的三角函数值就出来了：

肯定有读者开始生气了：“标题党吧？扯了这么多，不还是简简单单的特殊角三角函数？我要的是任意角！”

别急。显然，从上面的推导我们可以得到，特殊角的三角函数精确值是可以求的，那么任意角怎么求？数学家们总不能拿尺子去挨个量吧？

实际上，如果我们知道了sinα和cosα的值，我们就可以求出tanα、secα、cscα、cotα等三角函数了。

为什么？因为如果我们知道了sinα和cosα的值，那么我们可以假设r=1，进而求出x、y的值，三个值都出来了，那么∠α的所有三角函数值都出来了，三角函数无非是在这三个值的比之间反复折腾罢了。

下面，我将展示几个求三角函数值的公式，或者也可以说它们是三角函数的其它定义。

注意，这里使用的是弧度制，不是角度制，弧度制与角度制的关系如下：

                                                       1度=π /180 弧度

任意角三角函数公式1（级数定义）：

任意角三角函数公式2（指数表示）：

有了上面的两个公式（定义），我们也就可以不费吹灰之力地绘制出三角函数的函数图像了。

PS：三角函数也可以拓展到整个复数域：

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