高等数学（极限与连续） 个人学习总结 |
您所在的位置：网站首页 › 特殊极限公式关于e › 高等数学（极限与连续） 个人学习总结 |
|
极限重要公式
求极限参考链接： https://www.sohu.com/a/214347954_507476 关于e的特殊极限 \[\lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{x})^x = e \]\[\lim_{x \to 0} (1+ x)^{\frac{1}{x}} = e \]关于x的幂指函数的特殊极限 \[\lim_{x \to +\infty} x^{\frac{1}{x}} = 1 \]\[\lim_{x \to 0^+} x^x = 1 \]\[\lim_{x \to 0^+} x \ln x =0 \]带根号的特殊极限 \[\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1 \]\[\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 \]泰勒展开 1、\(sin(x)\) \[sin(x) = x-\frac{1}{6}x^3+O(x) \]\[sin(x) = \sum_{i = 0}^{i = n} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \]2、\(arcsin(x)\) \[arcsin(x) = x+\frac{1}{6}x^3+O(x) \]\[arcsin(x) = \sum_{i = 0}^{i = n} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \]3、\(tan(x)\) \[tan(x) = x + \frac{1}{3}x^3+O(x^3) \]\[tan(x) = \sum_{i = 0}^{i = n} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \]4、（必须要记牢，推导麻烦且易错）\(arctan(x)\) \[arctan(x) = x - \frac{1}{3}x^3 + O(x^3) \]\[arctan(x) = \sum_{i = 0}^{i = n} (-1)^{2n+1}\frac{x^{2n+1}}{2n+1} \]5、\(cos(x)\) \[cos(x) = 1 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{24}x^4 + O(x^4) \]\[cos(x) = \sum_{i = 0}^{i = n} (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} \]6、\(ln(1+x)\) \[ln(1+x) = x-\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + O(x^3) \]\[ln(1+x) = \sum_{i = 0}^{i = n} (-1)^n \frac{x^{n+1}}{n+1} \]7、\(e^x\) \[e^x = 1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+O(x^3) \]\[e^x = \sum_{i = 0}^{i = n} \frac{x^n}{n!} \]8、\((1+x)^{\alpha}\) \[(1+x)^{\alpha} = 1+\alpha x +\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2 +O(x) \]\[ (1+x)^{\alpha} = \sum_{i = 0}^{i = n} \frac{C^n_{\alpha}}{n!} \cdot x^n \]9、\(\frac{1}{1-x}\) \[\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + O(x^3) \]\[\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n \]10、\(a^x\) \[a^x = 1 + x \ln a \]11、\((1+x)^{\frac{1}{x}}\) \[(1+x)^{\frac{1}{x}} = e(1-\frac{x}{2} + \frac{11x^2}{24} - \frac{7x^3}{16} \cdots) = e - \frac{x}{2}e + \frac{11x^2}{24}e - \frac{7x^3}{16}e \cdots \]（易错点）使用等价无穷小和泰勒展开求极限的条件重点！！ 1、做乘除法时，可以 2、做加减法时，只有部分情况可以，检验是否可行的方法： 对于 \[\lim a+ b \]带入泰勒或者等价无穷小后，看看是否满足\(\frac{a}{b} = \pm 1\) 是则不能带入，否则可以带入；例如： \[\lim \cos x - 1 = (1-\frac{x^2}{2}) - 1 = -\frac{x^2}{2} \]因为带入后为\(\frac{1-\frac{x^2}{2}}{-1} \neq \pm1\) 而$$\lim \sin x - \tan x$$不行，因为带入后为\(\frac{x}{-x} = -1\) 极限计算题分类 函数极限的计算 1、分子为两根式之差使用平方差公式化简 例如：1000题的1.7 \(\frac{\sqrt{5x-1} - \sqrt{2x+5}}{x^2-4}\) 2、指数函数带有\(\frac{1}{x}\)或带有\(\ln f(x)\)的简单因式（的倒数）往下放 例如： 1000题的1.9 \(\lim\limits_{x \to \infty} e^{-x}(1+\frac{1}{x})^{x^2}\) 1.11 3、带有积分的化成积分分式，用洛必达消去积分 例如： 1000题的1.8 4、三角函数无法带入泰勒展开式计算的例如： 1000题的1.5 5、使用拉格朗日中值定理如果在\([a,b]\)(开区间、闭区间都可以)可导、连续，则： $ \exists \epsilon \in (a,b)$ 使得 \[f'(\epsilon)(b-a) = f(b) - f(a)$$ 或 $$f'(\epsilon) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a} \]6、\(1^\infty\)极限的计算\(x \to \infty ,g(x)^{f(x)}\)即等于\(e^A\) \[A= f(x)[g(x)-]) \]例如：1.66 无穷小比阶1、若\(a \neq 0,k>0\)，\(x \to 0\)时，\(f(x) \sim ax^k\)， \(\Rightarrow\) \(x \to 0\)时，f(x)是x的k阶无穷小 2、若\(k>0\)时，\(\lim\limits_{x \to 0}\frac{f(x)}{x^k}\) \(\Rightarrow\) \(x \to 0,f(x)\)是\(x\)的\(k\)阶无穷小 3、若\(f(x) = a_0+a_1x+ \cdots a_k x^k \cdots\),其中\(a_0+a_1x+ \cdots a_{k-1}=0\)，但\(a_k \neq 0\),则\(f(x)\)是x的k阶无穷小 4、若\(x \to 0\),\(g(x)\)是x的n阶无穷小,\(f(x)\)是x的m阶无穷小,$$\int^{g(x)}_0 f(t) dt$$是x的\((m+1) \cdot n\)阶无穷小 5、若\(x \to 0\)时\(f(x)\)与\(g(x)\)分别是x的m阶无穷小和n阶无穷小，又\(\lim\limits_{x \to 0} h(x) = a \neq 0\)，则 1）\(f(x) h(x)\)是x的m阶无穷小 \(f(x)g(x)\)是x的\(m+n\)阶无穷小 2）\(m>n\)时，\(f(x)+g(x)\)是x的n阶无穷小 3）\(m=n\)时，\(f(x)+g(x)\)是x的n阶或高于n阶的无穷小 数列极限的计算 1、转化为函数极限来算然后就可以用洛必达、拉格朗日中值定理 2、先求和或积 3、夹逼准则 1、简单放缩 n个正数之和不超过 n乘以最大值，不小于n乘以最小值例如：$$\lim\limits_{n \to \infty} (\frac{n}{n^2+1} + \frac{n}{n^2+2} \cdots \frac{n}{n^2+n})$$ 设原极限为A； 数列中最大值为\(\frac{n}{n^2+1}\)，最小值为\(\frac{n}{n^2+n}\) \[\frac{n}{n^2+n} \cdot n \leq A \leq \frac{n}{n^2+1} \cdot n \]\[\Rightarrow \frac{1}{1+\frac{1}{n}} \leq A \leq \frac{1}{1+\frac{1}{n^2}} \]\[\Rightarrow A=1 \]有限m个数相加例如：$$ \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1^n + a_2^n +\cdots a_m^n}, 0 \leq a_i(i = 1,2,3, \cdots m)$$ 这种题要注意，要找最大值，大于最大值，小于m个最大值之和 设原数列和为A，其最大值为\(a_1=max(a_1,a_2,\cdots ,a_m)\)则 \[a_1^n \leq A \leq a_1^n \cdot m \]\[\Rightarrow a_1 \leq \sqrt[n]{A} \leq a_1 \cdot m^{\frac{1}{n}} \]\[\Rightarrow \lim\limits_{n \to \infty} A = a_1=max(a_1, \cdots ,a_m) \]重要结论： 形如$$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1^n + a_2^n+\cdots a_m^n} = max(a_1,a_2,\cdots,a_m)$$m有限 例1：$$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{2020 + 2n+3n+4^n}=4$$ 例2：$$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{1+xn+(\frac{x2}{2})^n}$$(记得分类讨论) 4、单调有界准则 5、数列的构造法 求极限的应用 1、间断点 第一类可短间断点 \(x = x_0\) 时无定义 跳跃间断点 左右极限不等 第二类无穷间断点 无极限，且无界 振荡间断点 无极限却有界 2、函数曲线渐近线的求法 垂直渐近线 先找无定义点 \(x_0\) 求该点的极限$$\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$$ 极限存在则，\(x = x_0\) 为垂直渐近线 水平渐近线求极限 $$\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = A$$ \(A\)是否存在 存在则\(y = A\) 为水平渐近线 斜渐近线若\(y = f(x)\) 满足： \[\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = k$$ $k$ 存在 \]则有斜渐近线 \(y = kx + b\) 3、利用导数的定义计算特殊的导数 |
今日新闻 |
推荐新闻 |
| CopyRight 2018-2019 办公设备维修网 版权所有 豫ICP备15022753号-3 |