本文针对现代控制理论期末考试常见题型的流程与解法的速成，主要用于帮助通过期末考试，因此并未涉及太多原理内容。

笔者相对于看视频，更喜欢阅读各类文章和书籍来学习（因为觉得这样最省时间），因此尝试写一下，希望可以帮助到有跟我学习习惯相似的同学。

本文每个章节由部分理论、解法（以例题说明）、练习题，这三个部分组成，介于笔者水平有限，希望大家可以在评论区发表意见。下面直接开始题型归纳。

定义：

描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程组称为系统的状态空间表达式。

形如：

其中第一个式子为状态方程，第二个为输出方程，并且：

A ——系统矩阵

B ——输入矩阵

C ——输出矩阵

D ——直接传输矩阵

这里需要注意的是X(t)上加一点表示求导。

其他具体概念和原理不在此处解释了，本文重点是解题的招式，不是内功，有兴趣了解的读者可以参阅这篇文章：

如何入门现代控制理论 - 知乎 （zhihu.com）

1）选择系统的状态变量(一般有固定套路)。

2）根据基本规则列基本方程。

3）推导系统的状态方程和输出方程，即得状态空间表达式。

例1.2.1-如图，建立状态空间表达式。

1）选择系统的状态变量

选取i和uc作为状态变量

（套路：RLC电路一般就选电容电压Uc和电感电流i为状态变量）

令x1=uc，x2= i；（x1 x2为状态变量）

2）根据基本规则列基本方程。

显然u为总电压，它等于电阻电压+电感电压+电容电压，所以：

u=u_{c}+iR+L \frac{di}{dt}

i=C\frac{du_{c}}{dt}

（注：Ldi/dt为电感电压公式，C*du/dt为电容电流公式）

3）推导系统的状态方程和输出方程，即得状态空间表达式。

显然： i=x_{2}=C\frac{du_{c}}{dt}=C*\dot{x_{1}}

即： \dot{x_{1}}=\frac{1}{C}x_{2}

由 u=u_{c}+iR+L \frac{di}{dt} 得:L \frac{di}{dt}=u-u_{c}-iR

即： \dot{x2}=\frac{1}{L}u-\frac{1}{L}uc-\frac{1}{L}Ri =\frac{1}{L}u-\frac{1}{L}uc-\frac{1}{L}Rx2

输出方程y(t)=uc=x1

写成矩阵（这步不会看这里：如何计算矩阵乘法？ - 知乎 (zhihu.com)）：

1.3.1试建立电枢控制的直流电动机的状态空间表达式。

1）选电枢电流ia和电机的角速度w为状态变量。

x1=ia，x2=w

2）根据原始规律写方程

可参考：直流电动机的五个计算公式 - 知乎 (zhihu.com)

【电机学整理 2——直流电机01】 - 知乎 (zhihu.com)

3）推导系统的状态方程和输出方程，即得状态空间表达式。

x1=ia，x2=w；x1导=dia/dt，x2导=dw/dt整理可得：

而输出方程y=w=x2

写成向量矩阵形式为：

1.3.2尝试建立状态空间，对以下的机械位移系统。

1）选择系统的状态变量。

2）根据基本规则列基本方程。

从牛顿第二定律，我们有：

3）推导系统的状态方程和输出方程，即得状态空间表达式。

写成矩阵

主要可分为包含输入信号导数项，和不包含输入信号导数项两类。

即含 \dot{u} 和不含 \dot{u} 。

但方法都可分为3步：

(1)标序号

(2)选择 n 个状态变量

(3)根据(1)的标号和（2）的阶数写成矩阵（套路）

2.2.1例题-试求下列微分方程系统的状态空间表达式。

(1)标序号：

1.对y标号：从y导y的最高导数项标号，分别从a0标到an，方程中y最高求了几次导就标到a几。

2.对u标号：从u导u的最高导数项标号，分别从b0标到bn，方程中u最高求了几次导就标到b几。

即：

(2)选择 n 个状态变量：

选x1导,x2导,x3导.......（看y最高导了几次，最高导几次选几个）

在例题中，此处y最高导了3次，则最高要弄出x3的导数来，有：

x1=y\\x2=\dot{x1}\\x3=\dot{x2}\\x4=\dot{x3}\\

(3)根据(1)的标号和（2）的阶数写成矩阵（套路）。

于是例题的系统的状态空间表达式为：

例题-求下列微分方程的状态空间表达式

(1)标序号：

(2)选择 n 个状态变量：

含u导的情况下，一般选n 个状态变量为：

在例题中，即：

其中：

即：

\beta0=b3=0\\ \beta1=b2-a2\beta0=0\\ \beta2=b1-a1\beta0-a2\beta1=160-18*0-192*0=160\\ \beta3=b0-a0\beta0-a1\beta1-a2\beta2=640-180*160=-2240

(3)根据(1)的标号和（2）的结果写成矩阵（套路）。

在本题中：

所谓标准形是指：对角形、约当形（若当形，是一个意思只是翻译不同），关键是确定变换矩阵P。

一般算出特征值无重根，则化对角形，如特征值有重根，则化为若当形。

一般方法：

（1）计算系统矩阵A的特征值和特征向量。

（2）套公式变换矩阵

下面结合例题来具体说明。

（1）计算系统矩阵A的特征值和特征向量。

令行列式 det[\lambda I-A] =0

在例题中：

补充：我猜测有些读者获悉已经忘记线性代数如何计算了，在此我补充一点基本的知识:

\lambda I的意思是，一个矩阵，从左上角到右下角的元素都是\lambda，而其余元素都是0的一个矩阵，所以\lambda I-A的意思，就是前面\lambda I这个矩阵减去后面的矩阵A。

二阶行列式计算：\begin{bmatrix} a & b\\c &d \end{bmatrix}=a*d-b*c

更多内容可以参考：怎么求特征值和特征向量？_哔哩哔哩_bilibili

因此我们可以得到：

上面的方程叫特征方程，解出来的值，叫特征值。

此时解得：\lambda1=1\\ \lambda2=2

接下来我们再求特征向量q1与q2：

明天再更