A A A为 n ∗ n n*n n∗n的矩阵， x x x为非零向量，若存在数λ使 A x = λ x Ax=λx Ax=λx有非平凡解 x x x，则称 λ λ λ为 A A A的特征值， x x x称为对应于 λ λ λ的特征向量

举个例子: 设:

可以看到A对特征向量的作用是很简单的，它只是对特征向量进行了拉伸，而特征值表达了它拉伸的方向和大小

用数学式子表达, 就是这样的: A x = λ x Ax = \lambda x Ax=λx

变换一下位置, 即: ( A − λ I ) x = 0 (A-\lambda I)x=0 (A−λI)x=0

假定这里x不是空向量，等式只能在 ( A − λ I ) (A-\lambda I) (A−λI)不可逆的时候才能被定义。如果一个方阵是不可逆的，这意味着它的行列式必须等于零。因此，要找到A的特征向量，我们只需要解决以下公式： D e t ( A − λ I ) = 0 Det(A-\lambda I)=0 Det(A−λI)=0

假设存在一个变换矩阵A: 根据公式 ( A − λ I ) x = 0 (A-\lambda I)x=0 (A−λI)x=0, 我们知道: 可求得: 现在我们已经确定了两个特征值λ1和λ2。需要注意的是大小为NxN的方阵总是具有N个特征值，每一个对应一个特征向量。特征值用来求特征向量

计算特征向量

根据公式 A x = λ x Ax = \lambda x Ax=λx, 我们知道: 由于这仅仅是方程组的矩阵符号，我们可以写出它的等价形式: 并用 x 12 x_{12} x12​的一个函数解决了第一个等式： 因为特征向量仅仅代表一个方向（相应特征值表示幅度），特征向量的所有标量倍数是平行于该特征向量的向量，因此它们是等效的（如果我们标准化向量，它们将是相等的）。因此，进一步求解上面的方程组，我们可以自由地选择 x 11 x_{11} x11​或 x 12 x_{12} x12​的真实值，并用等式来确定另一个。

对于这个例子，我们随意地选择 x 12 x_{12} x12​ = 1，使得 x 11 x_{11} x11​= -1。因此，对应于特征值λ值为-1的特征向量是

然后，我们随意地选择 x 21 x_{21} x21​ = 2，并发现 x 22 x_{22} x22​= 3。因此，对应于特征值 λ 2 λ_2 λ2​= 4的特征向量是：

至此变换矩阵A的特征值和特征向量就求解结束了