通过改变输入量u，能使状态变量由任意初态转移到终态，则称系统状态完全能控 约旦标准型判据 对于状态方程 x ˙ = A x + B u \dot x=Ax+Bu x˙=Ax+Bu 判据1：A为对角型且特征值互异，状态能控的充要条件是B阵每行元素不全为零 判据2：A为约旦型，状态能控的充要条件是B阵相应于约旦块的最后一行元素不全为0 秩判据 状态能控的充要条件是其能控矩阵 M = [ B , A B , A 2 B , ⋯   , A n − 1 B ] M=[B,AB,A^2B,\cdots,A^{n-1}B] M=[B,AB,A2B,⋯,An−1B]满秩 n是系统的维数

通过观测系统输出，能唯一确定系统的全部初始状态，则称系统是完全能观的 约旦标准型判据 对于输出方程 y = C x y=Cx y=Cx 判据1：A为对角型且特征值互异，状态能观的充要条件是C阵每列元素不全为零 判据2：A为约旦型，状态能观的充要条件是c阵相应于约旦块的第一列元素不全为0 秩判据 状态能观的充要条件是其能观矩阵 N = [ C , C A ， ⋯   , C A n − 1 ] T N=[C,CA，\cdots,CA^{n-1}]^T N=[C,CA，⋯,CAn−1]T满秩

设有两个n维系统 ( A 1 , B 1 , C 1 ) , ( A 2 , B 2 , C 2 ) (A_1,B_1,C_1),(A_2,B_2,C_2) (A1​,B1​,C1​),(A2​,B2​,C2​) 若满足 A 2 = A 1 T , B 2 = C 1 T , C 2 = B 1 T A_2=A_1^T,B_2=C_1^T,C_2=B1^T A2​=A1T​,B2​=C1T​,C2​=B1T,则称两系统是对偶系统 具有以下性质： 传递函数矩阵互为转置 特征方程相同

系统1的能控性等价于系统2的能观性 系统1的能观性等价于系统2的能控性

对于系统 x ˙ = A x + B u , y = C x \dot x=Ax+Bu,y=Cx x˙=Ax+Bu,y=Cx 存在线性非奇异变换 x = T c 1 x ‾ x=T_{c1}\overline x x=Tc1​x 原系统变为能控标准1型 x ‾ ˙ = A ‾ x ‾ + B ‾ u , y = C ‾ x ‾ \dot {\overline x}=\overline A\overline x+\overline Bu,y=\overline C\overline x x˙=Ax+Bu,y=Cx a 0 , a 1 , ⋯   , a n − 1 a_0,a_1,\cdots,a_{n-1} a0​,a1​,⋯,an−1​是系统特征多项式的各项系数 同时也可以由 W ( s ) = C ( s I − A ) − 1 B = β n − 1 s n − 1 + ⋯ + β 1 s + β 0 s n + a n − 1 s n − 1 + ⋯ + a 1 s + a 0 W(s)=C(sI-A)^{-1}B=\frac{\beta_{n-1}s^{n-1}+\cdots+\beta_1s+\beta_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+a_0} W(s)=C(sI−A)−1B=sn+an−1​sn−1+⋯+a1​s+a0​βn−1​sn−1+⋯+β1​s+β0​​直接写出 A ‾ , B ‾ , C ‾ \overline A,\overline B,\overline C A,B,C

对于系统 x ˙ = A x + B u , y = C x \dot x=Ax+Bu,y=Cx x˙=Ax+Bu,y=Cx 存在线性非奇异变换 x = T c 2 x ‾ x=T_{c2}\overline x x=Tc2​x 原系统变为能控标准2型 式中 a 0 、 a 1 , ⋯   , a n − 1 a_0、a_1,\cdots,a_{n-1} a0​、a1​,⋯,an−1​是系统特征多项式： ∣ λ I − A ∣ = λ n + a n − 1 λ n − 1 + ⋯ + a 1 λ + a 0 |\lambda I-A|=\lambda ^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_1\lambda+a_0 ∣λI−A∣=λn+an−1​λn−1+⋯+a1​λ+a0​的各项系数 式中 c ‾ = [ c b , c A b , ⋯   , c A n − 1 b ] \overline c=[cb,cAb,\cdots,cA^{n-1}b] c=[cb,cAb,⋯,cAn−1b]

能观标准1型与能控标准2型互为对偶 能观标准2型与能控标准1型互为对偶

非奇异变换 x = R c x ^ x=R_c\hat x x=Rc​x^

非奇异变换 x = R o x ^ x=R_o\hat x x=Ro​x^

分解后，传递函数阵不变，与能控能观子系统的传递函数阵相同 具体分解步骤可以先按能控性分解，然后再分别对能控子系统和不能控子系统进行能观性分解

对于给定的传递函数阵 W ( s ) W(s) W(s),存在状态空间表达式满足： C ( s I − A ) − 1 B + D = W ( s ) C(sI-A)^{-1}B+D=W(s) C(sI−A)−1B+D=W(s) 则称该状态空间表达式为传递函数一个实现 最小实现 系统是最小实现的充要条件是系统能控且能观 寻求最小实现的步骤 1.先求W（s）的能控标准型实现 （若rm，采用能观实现） r，m分别为输入和输出的维数 2.结构分解找出能控且能观的子系统即为最小实现

系统能控且能观的充要条件是 W ( s ) W(s) W(s)中没有零点、极点对消 W（s）表示的是该系统既能控又能观的那一部分子系统