矩阵标准型的系数是特征值吗 |
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c 1. 引言
这里略去若尔当块和若尔当矩阵的定义，主要是想谈谈自己对若尔当标准型的理解。 都知道的简单结论是，对于 ，如果A有n个互异的特征值 ，那么A是可以对角化的，并且向量空间 。实际上矩阵A对角化的过程，多多少少也就等价于将向量空间分解为A的不变子空间的直和的过程，比如上面的 ，这其实就是将空间 分解成n个一维不变子空间的过程。但是当方程 有重根的时候，A的特征值就少于n个。假设此时A有r个互异的特征值，分解 就可能会出问题，因为这些子空间维数的和有可能小于n。如果记特征值 的代数重数为 ，一般条件下只有 和 ，二者相等时上面的分解才成立。这时候的问题是，某些特征值对应的不变子空间 维数不够高，上面的直和不能“覆盖”整个向量空间。但是，注意到对任意一个矩阵B，很明显对任意非负整数k，方程 的解都是方程 的解，即 。所以一个想法是，如果 重根 对应的一维不变子空间 维数不够，那么能否用 来代替。这个想法是可以的，但还有几点问题，或者说几点条件需要满足： 首先是 确实得是矩阵A的一个不变子空间。 二是 的维数得足够高，即又不能超过 。也就是，要存在正整数k使得 。 三是对不同的 ，两个子空间 应该是线性无关的。下面给出一些引理说明这3点条件确实是满足的。 2. 一些引理和根子空间分解下面的论述中总假设 是A的代数重数为 的特征值。引理2.1说明 是矩阵A的一个不变子空间。 引理2.1（条件1） 是矩阵A的不变子空间。证明：只需要注意到 意味着 ，所以命题成立。既然 确实是A的不变子空间，现在就需要验证它的维数随着k的增大会变大到 ，也就是引理2.2。 引理2.2（条件2） 对任意非负整数 成立证明：这里要简单应用一下Schur分解，Schur分解是说：任意一个复数矩阵 C 都相似于一个上三角矩阵 U，即 ，且 U 的对角元为矩阵 C 的特征值，且特征值的个数就是其代数重数。应用这个定理先将A分解为 且 U 的对角元为 ，在最后共有 个 。于是 且 。再把矩阵 写成 ，其中F是一个 阶 严格上三角矩阵，且C的对角元均不为0。所以于是 ，注意到 严格上三角，所以 。另外因为C的对角元均不为0，所以对任意正整数 ， 的对角元也都不为0。所以 且 ，这意味着 ，于是 。这样我们证明了条件（1）、（2）满足。 注意到由 ，二者都是子空间且维数相等，所以二者实际上是同一个子空间，即 。也就是说当 增大到 之后，子空间就不再发生变化。尽管维数够了，但如过两个特征值对应的子空间 有“重叠”，分解依然不成立。下面的引理2.3说明两个子空间实际上是无关的。 引理2.3（条件3） 对A两个互异的特征值 ，子空间 线性无关。证明：这里先固定 ，对 用归纳法。 时显然成立，假设 时成立，当 时，若 线性相关，即二者有不为0的公共元素。设这个元素为 ，所以有 。而 说明 ，即 。由假设 ，这意味着 ，但这与二者线性无关的假设矛盾。所以有 线性无关对任意 成立。现在再对 做归纳，等于1的情形上面已经证明了。假设 时成立， 时。反设两个子空间有公共元素 ，即 。记 。所以式子 。设 为使得 的非负整数。两边同乘 得到 ，即 。所以 与假设矛盾。这样子我们证明了三个条件是满足的，也就是分解 是存在的。令 称为特征值 的根子空间，上述分解也叫根子空间分解。下面我们建立起根子空间分解和若儿当标准型的关系。 3. Jordan标准型对代数重数为 的特征值 ，考虑这样的一组方程： 。对这个方程的解 ，注意到 ，所以每个 都是根子空间的元素，实际上还有 是线性无关的。因为若设有一组 使得： 。左右同乘 得到 ，于是 。同样的做法，乘以 得到 等等。最后可以得到 从而线性无关。这样，如果由上面的方程能够解出来 ，则我们得到了根子空间的一组基。并且有 ，而 恰好是若尔当块。所以现在问题变为，对方程 ， 解 的存在性。显然 作为 的特征值始终存在，利用之前对矩阵A的Schur分解，方程可以等价为 。由之前的推论，矩阵再利用分块矩阵形式把 写成： 。因为矩阵C是可逆的，所以求出了 之后自然也就求出了 。所以问题进一步转换成求方程 的解。这里记初始子空间 的维数为 ，那么其实 。因为F严格上三角，所以实际上有 。------to be continued------ |
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