深圳外国语学校2022-2023学年度高一第一次月考

数学试卷

本试卷共4页，22小题，满分120分.考试用时120分钟.

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

第一部分  选择题（共48分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.

1.已知全集，，则集合B的真子集个数为（    ）

A.63个 B.64个 C.127个 D.128个

2.已知全集U，集合，那么下列等式错误的是（    ）

A. B. C. D.

3.在下列四组函数中，与表示同一函数的是（    ）

A.， B.，

C.，  D.，

4.“”的一个充分条件是（    ）

A. B. C. D.

5.若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

6.命题“，”为假命题.则实数a的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

7.已知x，y为正实数，则的最小值为（    ）

A.6 B.5 C.4 D.3

8.设S是实数集R的一个非空子集，如果对于任意的a，（a与b可以相等，也可以不相等），且，则称S是“和谐集”.则下列命题中为假命题的是（    ）

A.存在一个集合S，它既是“和谐集”，又是有限集

B.集合是“和谐集”

C.若，都是“和谐集”，则

D.对任意两个不同的“和谐集”，，总有

二、多项选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9.若“或”是“”的必要不充分条件，则实数k的值可以是（    ）

A.-8 B.-5 C.1 D.4

10.已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（    ）

A.若，，则 B.若，则

C.若，，则 D.若，，则

11.若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（    ）

A.有最小值  B.有最大值

C.有最小值 D.有最小值

12.已知函数，若的最小值为，设满足题意的实数a的取值集合为A，则集合A的子集可以为（    ）

A. B. C. D.

第二部分  非选择题（共72分）

三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）

13.函数的定义域是_________________.

14.关于x的不等式的解集中恰有1个整数，则实数a的取值范围是___________.

15.命题“，”是真命题，则实数a的取值范围是_____________.

16.已知，，，则的最大值为________________.

四、解答题：本题共6小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（8分）已知全集，集合，集合.

（1）当时，求与；

（2）若，求实数m的取值范围.

18.（8分）解下列关于x的不等式：

19.（10分）已知关于x的不等式的解集是.

（1）求实数a，b的值；

（2）若，，且，求的最小值.

20.（10分）已知函数对一切实数x，y都有成立，且.

（1）求的值，及的解析式；

（2）当时，不等式恒成立，求a的取值范围.

21.（10分）设矩形的周长为16cm，把沿向折叠，折过去后交于点P，设，.

（1）用x的代数式表示y，并写出x的取值范围；

（2）求的最大面积及相应x的值.

22.（10分）给定的正整数，若集合，且满足，则称A为集合M的n元“好集”.

（1）写出一个实数集R的2元“好集”；

（2）证明：不存在自然数集N的2元“好集”.

2022-2023学年高一年级10月检测考试

数学参考答案

一、单选题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

C

C

B

C

D

C

A

D

二、多选题

题号

9

10

11

12

答案

ACD

AC

BCD

BC

三、填空题

13. 14. 15. 16.

8.D  【详解】解：A项中，根据题意是“和谐集”，又是有限集，故A项为真命题；

B项中，设，，，则，，所以集合是“和谐集”，故B项为真命题；

C项中，根据已知条件，a，b可以相等，故任意“和谐集”中一定含有0，所以，故C项为真命题；

D项中，取，，，都是“和谐集”，

但5不属于，也不属于，所以不是实数集，故D项为假命题.

12.BC  【详解】当时，，当且仅当时，等号成立，

即当时，函数的最小值为；

当时，，要使得函数的最小值为，

则满足，解得.故选：BC.

16.  【详解】，当时取等，

所以，

故令，则，

所以，

当时，等号成立.

所以的最大值为.

17.（1）集合，当时，

，故，.………3分

（2）由题可知.，若

①当时，即，符合题意.……5分

②当时，即时

（i）不符合题意，舍去

（ii）解得，

综上所述，.…………………8分

18.当时，则，解得，故不等式的解集为；……2分

当时，不等式因式分解可得，……3分

当时，则，解得，故不等式的解集为；………………4分

当时，，解得，

故不等式的解集为；……5分

当，即时，化为，

解得或，

故不等式的解集为；……………6分

当，即时，化为，

解得或，

故不等式的解集为；……7分

综上所述，当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为……8分

19.（1）因为关于x的不等式的解集是，

所以-1和是方程的两个根，

所以………………2分

解得

当，时，的解集是，符合题意，

所以，.……4分

（2）由（1）知，，所以，…………5分

又，，所以，……8分

当且仅当，即，时等号成立，

所以的最小值为.……………………10分

20.（1）令，，可得，又由，解得；……2分

令，得，又因，解得；……4分

（2）当时，不等式恒成立，即，

若时不等式即，显然成立；……5分

若时，，故恒成立，只需，………………6分

设，设，

则，当且仅当时，即时，等号成立，，故，

综上，a的取值范围为.……10分

21.（1）如图，∵，由矩形的周长为16cm，可知.设，则，

∵，，，∴，

∴.

在中，由勾股定理得，即，

解得，所以.即……4分

（2）的面积为.

由基本不等式与不等式的性质，得，

当且仅当时，即当时，的面积最大，面积的最大值为……10分

22.（1）因为，又，

所以是实数集R的一个2元“好集”.……3分（其它答案合理即可给分）

（2）设是自然数集N上的一个2元“好集”，不妨设，

①若，则，故不成立；……5分

②若，由得，

所以，因为且，所以，，

故不成立，……9分

综上所述，自然集N不存在2元“好集”.……10分