晶体的宏观对称性与晶胞的对称性有关联。其宏观对称性不仅反映在规则的几何外观上，更体现在晶体的 宏观物理性质 上。

以介电常数为例： 各向同性材料的电磁性质方程为：

D=ε0εrE\bm{D} = \varepsilon_0\varepsilon_r\bm{E} D=ε0​εr​E

各向异性材料的电磁性质方程：

Dα=∑βεαβEβD_\alpha = \sum_{\beta} \varepsilon_{\alpha\beta} E_{\beta} Dα​=β∑​εαβ​Eβ​

其中 (εαβ)(\varepsilon_{\alpha\beta})(εαβ​) 为介电张量。

方解石[2]^{[2]}[2]为六角结构：

由于对称性的限制，其介电张量将有以下形式（将会在后面仔细说明）：

(εαβ)=(ε//000ε⊥000ε⊥)(\varepsilon_{\alpha\beta})=\begin{pmatrix} \varepsilon_{//} & 0 & 0\\ 0 & \varepsilon_{\perp} & 0\\ 0 & 0 & \varepsilon_{\perp} \\ \end{pmatrix} (εαβ​)=⎝⎛​ε//​00​0ε⊥​0​00ε⊥​​⎠⎞​

可得：

D⊥=ε⊥E⊥D//=ε//E//\begin{aligned} &\bm{D}_{\perp} = \varepsilon_{\perp} \bm{E}_{\perp}\\ &\bm{D}_{//} = \varepsilon_{//} \bm{E}_{//}\\ \end{aligned} ​D⊥​=ε⊥​E⊥​D//​=ε//​E//​​

由此在垂直与平行两个方向上，方解石的折射率有差别。这就是双折射[3]^{[3]}[3]产生的原因。

各向异性的物理性质与结构密切相关。

如何描述对称性？要概括一个图形的对称性，就是考察在一定的几何变换之下物体的不变性。这种几何变换就是 对称操作。 例如对于以下图形，我们得到一些观察

综合以上观察，对图形的对称性排序： 圆形 > 正方形 > 等腰梯形 > 不规则图形

旋转与反射这两类操作实质是一个坐标变换，可以用矩阵表示。并且这类变换具有一个特性：变换前后存在不动点。为了和平移对称性区分开来，我们称其为 点对称性。 点对称变换可以用变换矩阵 AAA 表示： 对于一个任意点 (x,y,z)(x,y,z)(x,y,z) 有：

(xyz)⟶(x′y′z′)=(aij)3×3(xyz)\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} =(a_{ij})_{3\times3} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} ⎝⎛​xyz​⎠⎞​⟶⎝⎛​x′y′z′​⎠⎞​=(aij​)3×3​⎝⎛​xyz​⎠⎞​

记做：

x′=Axx' =Ax x′=Ax

最基本的三种点对称变换为：

旋转

例如绕 xxx 轴旋转 θ\thetaθ。

A=(1000cos⁡θ−sin⁡θ0sin⁡θcos⁡θ)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta\\ 0 & \sin\theta & \cos\theta\\ \end{pmatrix} A=⎝⎛​100​0cosθsinθ​0−sinθcosθ​⎠⎞​

对原点进行反演。

A=(−1000−1000−1)A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ \end{pmatrix} A=⎝⎛​−100​0−10​00−1​⎠⎞​

例如绕 xxx 轴旋转 θ\thetaθ，再对原点进行反演。

A=(−1000−cos⁡θsin⁡θ0−sin⁡θ−cos⁡θ)A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & -\cos\theta & \sin\theta\\ 0 & -\sin\theta & -\cos\theta\\ \end{pmatrix} A=⎝⎛​−100​0−cosθ−sinθ​0sinθ−cosθ​⎠⎞​

可以证明点对称变换是 正交变换：ATA=1A^TA = 1ATA=1。

证明： 变换前后，两点间距离保持不变（刚性条件）。不妨取 (0,0,0)(0,0,0)(0,0,0) 为不动点。因此有 (x,y,z)(x,y,z)(x,y,z) 与原点间的距离保持不变：

x2+y2+z2=x′2+y′2+z′2x^2+y^2+z^2=x'^2+y'^2+z'^2 x2+y2+z2=x′2+y′2+z′2

写为矩阵形式：

xTx=x′Tx′x^T x = x'^T x' xTx=x′Tx′

由此可得：

x′Tx′=(Ax)T(Ax)=xTATAx=xTx\begin{aligned} x'^Tx' &= (Ax)^T(Ax)\\ &= x^T A^TA x = x^T x \end{aligned} x′Tx′​=(Ax)T(Ax)=xTATAx=xTx​

因此，刚性条件要求：

ATA=1,∣A∣=±1A^TA = 1,\quad |A| = \pm1 ATA=1,∣A∣=±1

其中旋转操作 ∣A∣=1|A|=1∣A∣=1，反演和旋转反演 ∣A∣=−1|A|=-1∣A∣=−1。

如果一个物体在某正交变换下保持不变，就称这个变换是物体的一个 对称操作。一个物体所允许的对称操作数愈多，表明其对称性愈高。

指的是一个物体借以进行对称操作的一根轴、一个点或一个平面。

对于 2ˉ\bar{2}2ˉ，可以得到其等价于对一个 平面 的镜面操作 mmm。

例：立方体（OhO_hOh​ 群）

共有 48 个对称操作。

这点利用排列组合容易得到：C81A33=48C_8^1A_3^3 = 48C81​A33​=48

群 在数学上，定义一组元素的集合为群：

A={E,A1,A2,⋯ ,An}\mathcal{A} = \{E,A_1,A_2,\cdots,A_n\} A={E,A1​,A2​,⋯,An​}

赋予这些元素一定的乘法规则，使其满足：

一个物体的全部对称操作满足上述群的定义，称其构成一个 操作群。 例：立方体48个对称操作构成一个操作群，记为 OhO_hOh​

现在讨论 晶体可能具有的宏观对称素。

微观对称性破缺，宏观对称性也必然破缺。

考虑对结点 A,BA,BA,B 做如图旋转操作，得到 A′,B′A',B'A′,B′。容易得到：AB//A′B′AB//A'B'AB//A′B′。这两个晶列代表同一晶向，具有相同周期，有：

B′A′‾=nAB‾\overline{B'A'} = n \overline{AB} B′A′=nAB

根据几何关系：

B′A′‾=(1+2cos⁡θ)AB‾\overline{B'A'} = (1+2\cos\theta)\overline{AB} B′A′=(1+2cosθ)AB

可得：

加上对应的反演 Ci,2ˉ,3ˉ,4ˉ,6ˉC_i,\bar{2},\bar{3},\bar{4},\bar{6}Ci​,2ˉ,3ˉ,4ˉ,6ˉ，总共有10种对称素。

现在讨论这10个对称素的独立性，不难发现：

由此，独立的对称素为 1,2,3,4,6,Ci,m,4ˉ1,2,3,4,6,C_i,m,\bar{4}1,2,3,4,6,Ci​,m,4ˉ，共有8个。

例如：正四面体

晶体周期性对于对称素组合的限制 可以证明：

以电磁性质方程为例：

D=ϵED = \epsilon E D=ϵE

在对称变换 AAA 下：

D′=AD,E′=AED' = AD,\quad E' =AE D′=AD,E′=AE

可得

D′=AD=AϵE=(AϵAT)E′=ϵ′E′\begin{aligned} D' &= AD\\ & = A\epsilon E\\ & = (A\epsilon A^T)E'\\ & =\epsilon' E' \end{aligned} D′​=AD=AϵE=(AϵAT)E′=ϵ′E′​

物体宏观性质应当在对称变换下保持不变，即：

D′=ϵE′D' = \epsilon E' D′=ϵE′

对比可得：

ϵ=AϵAT\epsilon = A\epsilon A^T ϵ=AϵAT

对于立方晶系，先选取 xxx 轴为四重轴，旋转 θ=π2\theta = \frac{\pi}{2}θ=2π​

A=(1000cos⁡θ−sin⁡θ0sin⁡θcos⁡θ)=(10000−1010)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta\\ 0 & \sin\theta & \cos\theta\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0\\ \end{pmatrix} A=⎝⎛​100​0cosθsinθ​0−sinθcosθ​⎠⎞​=⎝⎛​100​001​0−10​⎠⎞​

AϵAT=(10000−1010)(ϵ11ϵ12ϵ13ϵ21ϵ22ϵ23ϵ31ϵ32ϵ33)(1000010−10)=(ϵ11−ϵ13ϵ12−ϵ31ϵ33−ϵ32ϵ21−ϵ23ϵ22)\begin{aligned} A\epsilon A^{T} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \epsilon_{11} & \epsilon_{12} & \epsilon_{13}\\ \epsilon_{21} & \epsilon_{22} & \epsilon_{23}\\ \epsilon_{31} & \epsilon_{32} & \epsilon_{33}\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 0\\ \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} \epsilon_{11} & -\epsilon_{13} & \epsilon_{12}\\ -\epsilon_{31} & \epsilon_{33} & -\epsilon_{32}\\ \epsilon_{21} & -\epsilon_{23} & \epsilon_{22}\\ \end{pmatrix}\\ \end{aligned} AϵAT​=⎝⎛​100​001​0−10​⎠⎞​⎝⎛​ϵ11​ϵ21​ϵ31​​ϵ12​ϵ22​ϵ32​​ϵ13​ϵ23​ϵ33​​⎠⎞​⎝⎛​100​00−1​010​⎠⎞​=⎝⎛​ϵ11​−ϵ31​ϵ21​​−ϵ13​ϵ33​−ϵ23​​ϵ12​−ϵ32​ϵ22​​⎠⎞​​

可得：

{ϵ12=−ϵ13ϵ12=ϵ13\left\{\begin{aligned} &\epsilon_{12} = -\epsilon_{13} \\ &\epsilon_{12} = \epsilon_{13} \\ \end{aligned}\right. {​ϵ12​=−ϵ13​ϵ12​=ϵ13​​

应用其他对称操作，最终得到：

ϵαβ=δαβϵ0\epsilon_{\alpha\beta} = \delta_{\alpha\beta}\epsilon_{0} ϵαβ​=δαβ​ϵ0​

即立方晶体介电常数为标量。

对于宏观对称性，考虑到：

因此 点阵 的对称类型应该少于 结构 的对称类型。结构的点群为 晶体点群 ，共有 32 种；点阵的点群对应 7 个 晶系；另外同时考虑到宏观对称性与平移对称性，晶系可分为 14 种 Bravais 格子（空间点阵）；晶体点群拓展为 230 种 空间群。

用 10 个 对称素（8种）的基础上构成的对称性操作群叫做 点群。可以证明，只有 32 种晶体点群。 可以使用 熊夫利符号 表示晶体点群 [4]^{[4]}[4]：

赫尔曼–莫甘记号 是晶体点群的国际标记符号，它用点群的特征对称素对点群进行标记。其遵循以下规则：

32中点群对应的 熊夫利符号 与 赫尔曼–莫甘记号 列在下表：

各个对称素的生成关系可以用下图表示：

只考虑格点的宏观对称性可以将 32种晶体点群划分为 7 种晶系（根据特征对称素的不同）。 考虑点阵的平移对称性，可以将晶系分为：简单（P），体心（B），面心（F），底心（I）。

晶系、Bravais 格子的相关信息列在下表。