用Mathematica 画常微分方程斜率场（积分曲线）

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用Mathematica 画常微分方程斜率场（积分曲线）

2024-06-30 06:28| 来源: 网络整理| 查看: 265

因为最近在看微分方程，想观察一下方程的斜率场，所以就想看看万能的Mathematica能不能画出微分方程的斜率场。百度了一下和自己也查看了一下Mathematica的官方文档，但是发现好像并没有想要的结果，网上找到很多都是先解出微分方程的解，然后再把解导入来画斜率场的。（好像Matlab可以，不过我没用过）

所以就在想有没有方法不用解微分方程，直接用微分方程作输入来画它的斜率场的方法。然后今天下课的时候回宿舍搞了一下，发现可行。所以下面就来跟大家分享一下。

理论分析

首先要来的就是先做个理论的分析，来看看从理论上是否可行（该方法只对一阶常微分方程有效）对于一阶常微分方程有

dydx=f(x,y) 熟悉微分方程的人可能已经对上面方程的几何意义非常熟悉了，左边即斜率，右端为定义在二维平面 R2 上的函数。几何意义非常明显，即 dydx=f(x0,y0) 其中 (x0,y0)∈R2 ，因为上方程左端就是斜率，上面的一阶微分方程即确定了在平面 R2 某点的斜率。所以明显我们可以按照这样在平面上画出该方程的斜率场，而且满足斜率场的其中一条曲线也就是该微分方程的一个特解。

转化为Mathematica语言

下面就要把理论上的东西转化为实际在Mathematica上操作的语言。我们通过查看Mathematica的官方文档，可以知道可以用来画向量场的函数有 StreamPlot[] 和 VectorPlot[] 两个，其中两个的差别只是一个是画流线，一个是画向量箭头的。现在开始在文章下面一直都是使用 StreamPlot[] 来进行画向量场。

不过现在有一个问题是，这两个函数的输入都是分开的，就是只接受输入向量x分量的函数，和y分量的函数，并不是单纯的接受微分方程的输入。而我们从微分方程里面知道的信息只有在某点的斜率，我们要把这个斜率的信息转化成向量的x分量，和y分量的信息。所以请看下图向量分解从上图我们看出，假设存在一向量，必有x跟y方向的分量有关系式

|v⃗ x||v⃗ |=cosθ 对于y分量有 |v⃗ y||v⃗ |=Sinθ 那么就是有 |v⃗ x|=|v⃗ |∗cosθ ，其中 θ 就是在该点的斜率角。它的值可以通过取反三角函数得到即 θ=Arctan(dydx)=Arctan(f(x,y)) 再把上式代入x分量的式子，就有 |v⃗ x|=|v⃗ |∗cos(Arctan(f(x,y))) 同理对于y方向，就有 |v⃗ y|=|v⃗ |∗sin(Arctan(f(x,y))) 上面这个 |v⃗ | 是向量的长度，一般情况如果只是想考察向量的斜率方向，不关心斜率的大小可以取 |v⃗ |=1 即单位向量，那么向量场所有的向量都是长度为1的单位向量。

到目前为止就完成了从斜率角到向量x跟y方向分量函数的转化，利用计算机上面这个看似复杂，看到头大的公式也能很轻易的计算出来。

测试

下面就把上面推出来的x和y方向的函数再Mathematica里面定义 In[1]= fx[z_] := Cos[ArcTan[z]] In[2]= fy[z_] := Sin[ArcTan[z]] 然后定义完了之后，直接就可以调用StreamPlot[]来画斜率场了 In[3]= StreamPlot[{fx[z]], fy[z]}, {x, 0, 10}, {y, -5, 10}] 上面的Mathematica代码，后面两个花括号代表画的范围，前面的花括号代表x的分量函数，和y的分量函数。分量函数里面的z可以替换成你想要求斜率场的微分方程的右端函数。

下面以微分方程 dydx=y2 为例子做一个测试，在Mathematica里面输入如下代码 StreamPlot[{fx[y^2], fy[ y^2]}, {x, 0, 10}, {y, -5, 5}] 我们都知道该微分方程的通解为

y=1c−t 由Mathematica得到斜率场如下图: 斜率场1

加上斜率向量的大小

上面所做的都是在斜率向量的大小为单位长度的情况下做的，下面就来为斜率向量加上随角度大小变化而变化的长度。即斜率向量的大小是斜率角 θ 的函数。

|v⃗ |=|Arctan(f(x,y))| 那么上面推导出的x和y方向的函数，可以写为 |v⃗ x|=|Arctan(f(x,y))|∗cos(Arctan(f(x,y))) 对于y方向同样有 |v⃗ y|=|Arctan(f(x,y))|∗sin(Arctan(f(x,y))) 跟之前的公式一样这看起来很复杂的公式在计算机面前，根本不算什么。非常快就能够算出答案。那么现在的斜率场就具有了随角度大小变化的向量大小了。这也能在Mathematica里面体现出来，我们可以设置一个参数来使Mathematica根据向量的大小（范数）来着色，使斜率场更加直观，好看。着色的代码如下 StreamPlot[{fx[y^2], fy[ y^2]}, {x, 0, 10}, {y, -5, 5}, StreamColorFunction -> Hue] 可以看到在上面的代码里面，设置了一个参数StreamColorFunction->Hue，这个参数代表根据向量的大小来着色。如下图这里写图片描述

其他方程的斜率场

好的，用Mathematica画斜率场就到这里了。下面给大家看一下一些我个人认为很漂亮的微分方程的斜率场线这里写图片描述上图是方程 dydx=sin(y)

这里写图片描述上图是方程 dydx=sin(yx)

这里写图片描述上图是方程 dydx=e−y

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