牛顿迭代法(Newton's method) |
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关键词:牛顿法、牛顿迭代法、牛顿切线法、牛顿-拉弗森方法 参考:牛顿迭代法-百度百科、牛顿切线法-百度文库数学学院、牛顿切线法数值分析、非线性方程(组)的数值解法、Latex入门 https://blog.csdn.net/ccnt_2012/article/details/81837154 一、牛顿切线法基本思想背景 多数方程不存在求根公式(参考:伽罗瓦理论、一元五次方程求根公式),因此求精确根非常困难,甚至不可能,从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数的泰勒级数的前面几项来寻找方程的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一,其最大优点是在方程的单根附近具有平方收敛,而且该法还可以用来求方程的重根、复根,此时线性收敛,但是可通过一些方法变成超线性收敛。 思路 将非线性方程线性化 设$x_{k}$是$f(x)=0$的近似根,将$f(x)$在$x_{k}$附近用一阶Tylor多项式近似(带皮亚诺余项): $$ \begin{align*} f(x)&=f(x_{k})+f'(x_{k})(x-x_{k})+\frac{2f''(ξ)}{2!}(x-x_{k}) \\ &≈f(x_{k})+f'(x_{k})(x-x_{k})+P(x) \end{align*} $$ 令$ P(x)=0 $,当$ f'(x)≠0 $时有意义,可用线性方程近似代替 $ f(x)=f(x_{k})+f'(x_{k})(x-f(x_{k})) $ 令$ f(x)=0 $,解此线性的方程得: $x_{k+1} = x_{k}-\frac{f(x_{k})}{f'(x_{k})}$ 此式即为牛顿迭代公式。 设一个一元方程: $$ y = f(x) $$ 由图中可看出: $f(x)=0$ 的根,就是曲线与x轴的交点的横坐标x*。 在曲线上任取一点$(x_{0},f(x_{0}))$,过该点做曲线的切线,其斜率为$f'(x_{0})$,由直线方程$y-y_{0}=k(x-x_{0})$,得到过该点的切线方程: $$ y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}) $$ 令$ y=0 $,即$f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}) = 0$,得到该切线与x轴交点的横坐标: $$ x=x_{0}-\frac{f(x_{0})}{f'(x_{0})} $$ 一次迭代后,$ x1=x_{0}-\frac{f(x_{0})}{f'(x_{0})} $ 过点$ (x1,f(x1)) $再做曲线的切线,重复以上步骤,切线与x轴交点的横坐标就越来越接近$x^*$。 设$x_{n}$是$x^*$的第$n$次近似值,过$(x_{n},f(x_{n}))$做曲线$y=f(x)$的切线,切线与x轴交点的横坐标为: $$ x_{n+1} = x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})} $$ 因此牛顿法也称牛顿切线法。 三、收敛性与收敛速度四、应用 1.牛顿迭代法快速寻找平方根 构造方程$f(x)=x^2-n$ |
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