牛顿迭代法(牛顿

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牛顿迭代法(牛顿

2024-07-12 16:46| 来源: 网络整理| 查看: 265

起源[编辑]

牛顿法最初由艾萨克·牛顿在《流数法》（Method of Fluxions，1671年完成，在牛顿死后的1736年公开发表）。约瑟夫·拉弗森也曾于1690年在Analysis Aequationum中提出此方法。

方法说明[编辑]

蓝线表示方程 f而红线表示切线. 可以看出 x n+1比 x n更靠近 f所要求的根 x.

首先，选择一个接近函数 $f(x)$ 零点的 $x_0$ ，计算相应的 $f(x_0)$ 和切线斜率 $f'(x_0)$ （这里 $f'$ 表示函数 $f$ 的导数）。然后我们计算穿过点 $(x_0, f(x_0))$ 并且斜率为 $f'(x_0)$ 的直线和 $x$ 轴的交点的 $x$ 坐标，也就是求如下方程的解：

$f(x_0)= (x_0-x)\cdot f'(x_0)$

我们将新求得的点的 $x$ 坐标命名为 $x_1$ ，通常 $x_1$ 会比 $x_0$ 更接近方程 $f(x)=0$ 的解。因此我们现在可以利用 $x_1$ 开始下一轮迭代。迭代公式可化简为如下所示：

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

已经证明，如果 $f'$ 是连续的，并且待求的零点 $x$ 是孤立的，那么在零点 $x$ 周围存在一个区域，只要初始值 $x_0$ 位于这个邻近区域内，那么牛顿法必定收敛。并且，如果 $f'(x)$ 不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能. 粗略的说，这意味着每迭代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍。

利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：一、确定迭代变量在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个可直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。二、建立迭代关系式所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。三、对迭代过程进行控制在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析得出可用来结束迭代过程的条件。 3示例编辑欧几里德算法最经典的迭代算法是欧几里德算法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) 证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b。假设d是a,b的一个公约数，则有 a%d==0,b%d==0，而r = a - kb，因此r%d==0 ，因此d是(b,a mod b)的公约数同理，假设d 是(b,a mod b)的公约数，则 b%d==0,r%d==0 ，但是a = kb +r ，因此d也是(a,b)的公约数。因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。欧几里德算法就是根据这个原理来做的，欧几里德算法又叫辗转相除法，它是一个反复迭代执行，直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。其算法用C语言描述为： int Gcd_2(int a,int b)/*欧几里德算法求a,b的最大公约数*/ { if (a2时）。在n>2时，fib(n)总可以由fib(n-1)和fib(n-2)得到，由旧值递推出新值，这是一个典型的迭代关系，所以我们可以考虑迭代算法。 int Fib(int n) //斐波那契（Fibonacci）数列 { if (n < 1）/*预防错误*/ return 0; if (n == 1 || n == 2)/*特殊值，无需迭代*/ return 1; int f1 = 1,f2 = 1,fn;/*迭代变量*/ int i; for(i=3; ic>>d; x=diedai(a,b,c,d,x); cout

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