解答如下：

不定积分公式(不定积分公式推导)

secx=1/cosx

∫secxdx=∫1/cosxdx=∫1/(cosx的平方)dsinx

令sinx=t代人可得:3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

原式=∫1/(1-t^2)dt=1/2∫[1/(1-t)+1/(1+t)]dt

=1/2∫1/(1-t)dt+1/2∫1/(1+t)dt

=-1/2ln(1-t)+1/2ln(1+t)+C

将t=sinx代人可得

原式=[ln(1+sinx)-ln(1-sinx)]/2+C

在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数 F ，即F ′ = f。

不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。

(a^2-X^2)拓展资料

虽然很多函数都可通过如上的各种手段计算其不定积分，但这并不意味着所有的函数的原函数都可以表示成初等函数的有限次复合，原函数不可以表示成初等函数的有限次复合的函数称为不可积函数。利用微分代数中的微分Galois理论可以证明，如sinx/x这样的函数是不可积的。

解答（1）如下：

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + Csinarctanx=x/(1+xx)的平方根；

cosarctanx=1/(1+xx)的平方根；

cotarctanx=1/x；

sinarccosx=(1-xx)的平方根；

tanarccosx=(1-xx)的平方根/x

6、∫ cosx dx = sinx + C

9、∫ tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C

10、∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + C = (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C = - ln|secx - tanx| + C = ln|secx + tanx| + C

不定积分的分部积=∫d(sinx)/[1-(sinx)^2]分法为Su＝uvSvdu。

由于积分号是英文字母S的拉长，为了手机编辑方便，这里我用大写英文字母S表示积分号。 之所以积分号用英文字母S的拉长来表示，主要是因为S是英文单词Sum的首字母。

不定积分的求解根据上述定义，若函数f(x)在区间[a,b]上可积分，则有n等分的特殊分法：技巧

2、注意三角换元要看t的范围，换元有根号是讨论根号内t的正负，并适当划分区间。

基本公式只有两个，一个是∫u=uv-∫vdu∫dx/(a^2+X^2)

=(1/a)arctan(x/a)+C,一个是∫dx/√

=arcsin(x/a)+C

其他带根号的都是用三角函数换元做的。√(a^2+X^2)

用正切2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1换元，√(X^2-a^2)

1/(a^2-X^2)

不定积分的分部积分公式是根据乘法的微分法则得来的

d(uv)=u+vdu

两边求积分得

∫d(uv)=∫u+∫vdu

uv=∫u+∫vdu

在利用这个公式求积分时，一定要先明确谁是u，然后再确定v，才能使用。

∫I=[∫e^(-x^2)dx][∫e^(-y^2)dy]dx

=∫1dx

=x+C（C为常数）

函数 F ，即F ′ = f

不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。3、第三个例题属于两种仿佛都可以做，换元思想比较套路，好像但麻烦。种方法比较简单，但需要一定经验hold住它。其中F是f的不定积分。

扩展资料性质

1、函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和；即：设函数f（x）及g（x）的原函数存在，

则∫[f（x）+g（x）]dx=∫f（x）dx+∫g（x）dx

2、求不定积分时，被积函数中的常数因子可以提到积分号外面来。即：设函数

f（x）的原函数存在，k非零常数，则∫kf（x）dx=k∫f（x）dx

一、积分公式法

直接利用积分公式求出不定积分。

二、换元积分法

换元积分法可分为类换元法与第二类换元法。

1、类换元法（即凑微分法）

通过凑微分，最15）∫1/√(a^2-x^2) dx=(1/a)arcsin(x/a)+c后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。

2、注：第二类换元法的变换式必须可逆，并且在相应区间上是单调的。

第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。当被积函数是次数很高的二项式的时候，为了避免繁琐的展开式，有时也可以使用第二类换元法求解。常用的换元手段有两种：

∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C；（1） 根式代换法。

三、分部积分法

设函数和u，v具有连续导数，则d(uv)=u+vdu。移项得到u=d(uv)-vdu，两边积分，得分部积分公式：∫u=uv-∫vdu ⑴。

称公式⑴为分部积分公式。如果积分∫vdu易于求出，则左端积分式随之得到。

分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u，v。

不定积分的公式

6、∫ cosx dx = sinx + C

=∫(a,b)f(x)±∫(a,b)g(x)dx

∫(a,b)kf(x)dx

分部分分式，掌握基本方法，不拘泥于公式。=k∫(a,b)f(x)dx

换元积分法

（2）x=ψ(t)在[α,β]上单值、可导;

（3）当α≤t≤β时，a≤ψ(t)≤b,且ψ（α）=a,ψ(β)=b,

则分部积分法

设u=u(x),v=v（x)均在区间[a,b]上可导，且u′，v′∈R（[a,b]),则有分部积分公式： [3]

拓展资料

一般定理

定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

牛顿-莱布尼茨公式

如果f(x)是[a,b]上的连续函数，并且有F′(x)=f(x)，那么

用文字表述为：一个定积分式的值，就是原函数在上限的值与原函数在下限的值的。

正因为这个理论，揭示了积分与黎曼积分本质的联系，可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位，因此，牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。

定义

设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0，在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi（1,2,...,n），作和式。

该和式叫做积分和，设λ=max{△x1, △x2, …, △xn}（即λ是的区间长度），如果当λ→0时，积分和的极限存在，则这个极限叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为，并称函数f(x)在区间[a,b]上可积。

其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。

之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个常数， 而不是一个函数。

参考资料来源：

原式=∫[（s编辑 播报ecx)^2-1]dx==∫（secx)^2dx-∫dx=tanx-x+C。

设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式,C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。

由定义可知：求函数f(x)的不定积分，就是要求求出f(x)的所有的原函数，可以由原函数的性质可知，只要求出来函数f(x)的任意一个原函数，然后再加上任意的常数C,就可以得到函数f(x)的不定积分。

拓展资料：

在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数 F ，即F ′ = f。不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。这样，许多函数的定积分的计算就可以简定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。便地通过求不定积分来进行。

不定积分基本公式如下：

3、积分公式主要有如下几类：含ax+b的积分、含√（a+bx）的积分、含有x^2±α^2的积分、含有ax^2+b（a>0）的积分、含有√（a+x^2） （a用正割换元。>0）的积分、含有√（a^2-x^2） （a>0）的积分、含有√（|a|x^2+bx+c）

解释

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

1）∫0dx=c

不定积分的定义

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

4)∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

7）∫cosxdx=sinx+c

9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

10）∫1/√（1-x^2)

dx=arcsinx+c

11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c

12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c

基本积分公式

14）∫1/(a^2+x^2)dx=1/aarctan(x/a)+c

15）∫1/√(a^2-x^2)

dx=(1/a)arcsin(x/a)+c

16)

∫sec^2

xdx=tanx+c;

∫shx

dx=chx+c;

∫chx

dx=shx+c;

19)

dx=ln(chx)+c;

∫x^2/(1+x)dx

=∫(x^2-1+1)dx/(1+x)

=∫(x^2-1)dx/(x+1)+∫dx/(x+1)

=∫(x-1)dx+ln|x+1|

=x^2/2-x+ln|x+1| +C

不定积分中有关有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的求法，是考研中重点考察的内容，也是考研中的难点。不定积分是计算定积分和求解一阶线性微分方程的基础，所以掌握不定积分的计算方法很重要。

不定积分考查的函数特点是三角函数、简单无理函数、有理函数综合考查，考查方法是换元积分法、分部积分法的综合应用。不定积分的求法的理解和应用要多做习题，尤其是综合性的习题，才能真正掌握知识点，并应用于考研。

（1）换元积分法，即不定积分的凑微分求积分法。

（∫e^(-x^2)dx=I^(1/2)1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数=√π2）第二换元积分法。

（3）分部积分法。

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