非线性方程(组)：MATLAB内置函数 solve, vpasolve, fsolve, fzero, roots [MATLAB] |
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MATLAB函数 solve, vpasolve, fsolve, fzero, roots 功能和信息概览 求解函数 多项式型 非多项式型 一维 高维 符号 数值 算法 solve 支持，得到全部符号解 若可符号解则得到根 支持 支持 支持 当无符号解时符号解方法：利用等式性质得到标准可解函数的方法 基本即模拟人工运算 vpasolve 支持，得到全部数值解 （随机初值）得到一个实根 支持 支持 $\times$ 支持 未知 fsolve 由初值得到一个实根 由初值得到一个实根 支持 支持 $\times$ 支持优化方法，即用优化方法求解函数距离零点最近，具体方法为信赖域方法。 包含预处理共轭梯度(PCG)、狗腿(dogleg)算法和Levenberg-Marquardt算法等 fzero 由初值得到一个实根 由初值得到一个实根 支持 $\times$ $\times$ 支持一维解非线性方程方法，二分法、二次反插和割线法的混合运用 具体原理见数值求解非线性方程的二分法、不动点迭代和牛顿法和插值方法 roots 支持，得到全部数值解 $\times$ 支持 $\times$ $\times$ 支持特征值方法，即将多项式转化友矩阵(companion matrix) 然后使用求矩阵特征值的算法求得所有解（那是另外一个问题了）
也就是说，之前写了几篇关于非线性求解的，如二分法、牛顿法（参见二分法、不动点迭代、牛顿法）、二次反插法（参见插值法），只有一个库函数用了类似的方法。 各函数用法详解 1. (符号/数值)解方程(组)函数 solve 官方参考页：Equations and systems solver - MATLAB solve solve 是基本的用于符号解方程的内置函数，返回类型为符号变量矩阵($m\times n$ sym)。当无法符号求解时，抛出警告并输出一个数值解。基本形式为： solve(eqn, var, Name, Val); % eqn为符号表达式/符号变量/符号表达式的函数句柄, var为未知量; Name为附加要求，Val为其值可以用solve解一维方程。对于多项式，solve可以返回其所有值。 func1 = @(x)x^3 - 20*x^2 - 25*x + 500; % 创建函数句柄.句柄中的变量不属符号变量，不需要定义！ syms x exp1; % 定义符号变量 x, exp1； exp1 = x^3 - 20*x^2 - 25*x + 500; % 符号表达式，包含符号变量. 符号变量必须先有上一行定义！ solve(exp1 == 0, x) % 命令行输入a，传入一个包含符号表达式的等式，x为所要求的变量 solve(exp1, x) % 命令行输入b，传入一个符号表达式，函数默认求其零点 solve(func1(x), x) % 命令行输入c，传入参数func1(x)等价于传入了符号表达式，和输入b完全一样 solve(func1(x) == 0, x) % 命令行输入d，这句话和a完全一样 solve(func1, x) % 命令行输入e，传入参数func1，这是一个函数句柄，函数默认求其零点 ans = % 命令行输出，三个解，为3*1的符号向量。对以上五种输入输出都完全一样 -5 5 20对于不可符号求解的函数零点/方程解，solve抛出警告并返回一个数值解： exp1 = atan(x) - x - 1; % 不可符号求零点的表达式 solve(exp1 == 0, x) % 命令行输入 % 命令行输出： 警告: Cannot solve symbolically. Returning a numeric approximation instead. ans = -2.132267725272885131625420696936值得注意的是，虽然称之为“数值解”，并且输出了一个位数非常多的小数，但查看数据类型发现ans的数据类型依然是符号变量。其实，如果是正常的double类型的变量，直接输出是不可能给出这么多位的。matlab里面默认打印精度是4位小数，可以用 format long 语句调整到15位小数，和机器精度基本持平。 solve也可以求解方程组，此时输入的表达式epn和变量var为行向量（亲测列向量不可用）： exp1 = [x^2/9 + y^2/4 == 1, 2*x - 3*y == 0]; % 联立椭圆方程和直线方程 solution = solve(exp1, [x, y]); % 解方程组 % 命令行输出 solution = 包含以下字段的struct: x: [2*1 sym] y: [2*1 sym] % 这意味着x和y均有两个解。函数输出的solution是一个struct，访问方法和C语言访问struct成员一样： struct.x % 命令行输入 ans = % 命令行输出 (3*2^(1/2))/2 -(3*2^(1/2))/2可以看出，当solve给出符号解的时候，它是不会化简计算的。任何matlab的符号计算，包括四则运算、求导积分，都不具备化简/数值计算的功能。 此外，solve函数还有一些选项可选，这使得符号求解名副其实，这才是solve的强大之处。运用solve函数，Name设定为'ReturnConditions'，其值设定为true，表示要求solve函数输出详细信息。用这个方法我们可以得出一族解： % 求解方程sin(x)=cos(x)，我们知道这个方程有无穷多解 [solution, parameter, condition] = solve(sin(x)==cos(x), x, 'ReturnConditions', true); % 命令行输出 solution = pi/4 + pi*k % 得到一族解，以pi为周期 parameter = k % parameter输出的是构成解的参数（符号变量） condition = in(k, 'integer'); % condition表明parameter的条件，此处k为整数而一般地，对于多变量的多项式（组），当多项式数量不足以确定所有参数时，按照以上设定，solve函数可以解出几个变量关于其他变量的函数： exp1 = [x^2/9 + y^2/4 + z^2 == 1, 2*x - 3*y == 0]; % 椭球面和平面方程联立，结果应为曲线而非点 solution = solve(exp1, [x, y]，'ReturnConditions', true); % 要求解出其中x和y的表达式 solution.x % 命令行输入：访问solution结构体的x参数 ans = % 命令行输出：x关于z的表达式，是符号向量，可以通过索引solution.x(1)和solution.x(2)分别访问 (3*2^(1/2)*(-(z - 1)*(z + 1))^(1/2))/2 -(3*2^(1/2)*(-(z - 1)*(z + 1))^(1/2))/2 % 结构体还有参数parameters和conditions。此处没有新生成的参数，因此parameters和conditions没有意义 solution.parameters % 命令行输入 ans = Empty sym: 1-by-0 solution.conditions % 命令行输入 ans = TRUE TRUE在solve中，还可以使用 assume 函数来规定符号变量的性质（如整数、大于零、区间等等）。
2. 多初值的数值解方程(组)函数 vpasolve 官方参考页：Solve equations numerically - MATLAB vpasolve vpasolve是一款数值解方程(组)的函数。输入一些个参数，返回符号型数值标量/向量（即以数值的形式显示但实际上还是符号变量）。它的基本使用方式是： vpasolve(eqns, vars, init_guess, 'Random', randomvalue); % 方程(组)eqns，变量vars，初值点init_guess(可缺省，在random模式下可写区间)，'Random'设置randomvalue（可缺省）它的输入、功能和输出都和solve相仿。方程组的输入同样为行向量，变量组的输入也一样。 当输入一个可以定解的多项式方程（组）时，vpasolve将会直接给出方程的数值解；若多项式方程数量不足以确定所有的解，那么vpasolve将会给出以剩余变量表示的所求变量的函数，只是表达式的一部分（系数等）可能会以数值的形式呈现。注意，有理分式方程将会多项式化以后一样处理。对于这些方程，init_guess的值写了也没用。 exp1 = (x-1)*(x-2)/(x-3); % 分式方程 solution = vpasolve(exp1, x) % 命令行输入 solution = % 命令行输出，得到了全部解 1.0 2.0对于多元方程组，vpasolve的输出也是struct结构体，访问方法也和solve输出的struct一样。不同的是，vpasolve无法求出含参的解，即无法设定'ReturnConditions'选项。和solve类似，除了多项式方程和有理分式方程以外的任何方程，vpasolve都不会给出全部解。这样一看，似乎vpasolve只不过就是把solve的结果全部转化为数值形式，甚至许多solve的功能都不能满足。这样的想法当然不对，vpasolve也有其自身的优势，这来源于： A）可以设置初值进行数值求解。对于不可符号求解的方程，solve因为没有设定初值，可能无法搜索到合适的解。vpasolve则可以设置初值，从而可以进行后续解的搜索；B）可以随机取初值。我们都知道求解方程和最优化问题的初值选取非常玄学，而同样的初值最多只能有一个解。而结合循环等控制语句，利用vpasolve的随机初值功能可以让这一过程变得比较简单。比如可以写作初等函数的半整数阶Bessel(贝塞尔)函数，其零点有无穷多，但无法通过符号方法求解，在solve中会遇到很大的问题，但是用vpasolve设置合适的初值可以得到许多组临近初值的解。比如： syms x; exp1 = sin(x)/x; exp1 = diff(exp1, x); % 对原函数求导，得到的函数零点和3/2阶贝塞尔函数的零点相同 % 命令行输入 solution = solve(exp1, x) % 命令行输出，每次得到的结果均一样，为一个很遥远的解 警告: Cannot solve symbolically. Returning a numeric approximation instead. solution = -227.76107684764829218924973598808 solution = vpasolve(exp1, x, 1) % 命令行输入 solution = % 命令行输出大概就是0 0.00000000000000000000000014187233415524662526214503949551 solution = vpasolve(exp1, x, 3) % 命令行输入 solution = % 命令行输出 4.4934094579090641753078809272803另外，一些有限个解的方程，比如 $atanx=x/2$ ，我们已经知道它有解0，根据画图还可以确定在x>0和x |
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