现代结构所用的中、低强度材料通常有较高的韧度，材料在裂纹稳定扩展及失稳扩展前裂尖有相当大的塑性变形。因此，研究裂纹扩展判据时应充分考虑塑性变形的影响。

虽然CTOD参量及判据能有效地解决工程实际问题，但毕竟不是一个直接的、严密的裂纹尖端应力、应变场的表征参量，裂纹尖端位移的分析和直接测定都比较困难。

J. R. Rice(James Robert Rice)利用塑性力学全量理论，避开求解裂纹前缘塑性应力场时数学计算的困难，1968年提出了平面裂纹问题的J积分概念。

均质薄板有一穿透裂纹，受二向应力作用，围绕裂尖的回路积分：

J=\int_{\Gamma}(wdy-T_i\frac{\partial{u_i}}{\partial x}ds)

为 J 积分。

式中， w为应变能密度； w(\varepsilon)=\int_{0}^{\varepsilon}\sigma_{ij}d\varepsilon_{ij} ； u_i 为位移矢量； T_i 作用在积分回线微元 ds 上沿 i 方向的作用力矢量， T_i=\sigma_{ij}n_j ， n_j 为微元 ds 外法线 \underset{n}{\rightarrow} 在 j 轴上的投影。

利用弹性力学理论， ds 处边界条件为：

\begin{cases} T_x=\sigma_{xx}l+\tau_{xy}m\\ T_y=\tau_{xy}l+\sigma_{yy}m \end{cases}

\begin{cases} l=cos(n,x)=dy/ds\\ m=cos(n,y)=-dx/ds \end{cases}

则：

\oint _{\Gamma}T_i\frac{\partial{u_i}}{\partial{x}}ds=\oint _{\Gamma}(T_x\frac{\partial{u_x}}{\partial{x}}+T_y\frac{\partial{u_y}}{\partial{x}})ds=\oint _{\Gamma}[(\sigma_{xx}\frac{\partial{u_x}}{\partial{x}}+\tau_{xy}\frac{\partial{u_y}}{\partial{x}})dy-(\tau_{xy}\frac{\partial{u_x}}{\partial{x}}+\sigma_{yy}\frac{\partial{u_y}}{\partial{x}})dx]

利用Green公式：

\oint_{\Gamma}(Qdy+Pdx)=\quad\iint\limits_{\Omega}(\frac{\partial {Q}}{\partial {x}}-\frac{\partial {P}}{\partial {y}}) dxdy

\oint _{\Gamma}T_i\frac{\partial{u_i}}{\partial{x}}ds=\iint\limits_{\Omega}[\sigma_{xx}\frac{\partial^2u_x}{\partial{x^2}} dx+\tau_{xy}({\frac{\partial^2u_y}{\partial x^2}}+{\frac{\partial^2u_x}{\partial x\partial y}})+\sigma_{yy}\frac{\partial^2u_y}{\partial{x}\partial {y}} ]dxdy=\iint\limits_{\Omega}\sigma_{ij}\frac{\partial}{\partial x}[\frac{1}{2}(\frac{\partial{u_i}}{\partial x_j}+\frac{\partial{u_j}}{\partial x_i})]dxdy

知 \varepsilon_{ij}=\frac{1}{2}({\frac{\partial{u_i}}{\partial{x_j}}}+{\frac{\partial{u_j}}{\partial{x_i}}}) ，则：

\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{\partial w}{\partial \varepsilon_{ij}}\frac{\partial \varepsilon_{ij}}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial \varepsilon_{ij}}(\int\sigma_{ij}d\varepsilon_{ij})\frac{\partial \varepsilon_{ij}}{\partial x}=\sigma_{ij}\frac{\partial}{\partial x}[\frac{1}{2}(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i})]

由Green公式得：

\oint_{\Gamma}wdy=\iint\limits_\Omega\frac{\partial w}{\partial x}dxdy=\iint\limits_\Omega\sigma_{ij}\frac{\partial}{\partial x}[\frac{1}{2}({\frac{\partial u_i}{\partial x_j}}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i})]dxdy

由比较法可知：

\oint_{\Gamma}(wdy-T_i\frac{\partial{u_i}}{\partial x}ds) dx =0

研究 J 积分的目的是要使 J 积分成为断裂判据的有效参量，以J为描述裂尖应力应变强度的单一参量。即，当裂纹尖端区域的应力应变达到使裂纹开始扩展的临界强度时，J积分也达到相应的临界值。

根据 J 积分的守恒性，积分路径可以任意选取，若积分路径为半径为 R 的圆周，J积分定义可以采用极坐标形式：

x=Rcos\theta

y=Rsin\theta

dy=Rcos\theta d\theta

ds=Rd\theta

J=\int_{\Gamma}(wdy-T_i\frac{\partial{u_i}}{\partial x}ds)

J=R\int_{-\pi}^{\pi}[w(R,\theta)cos\theta-T_i(R,\theta) \frac{\partial{u_i}(R,\theta)}{\partial x}]d\theta

线弹性范围应变能密度：

w=\int\sigma_{ij}d\varepsilon_{ij}=\frac{1}{2}\sigma_{ij}\varepsilon_{ij}

w=\frac{1+\upsilon}{2E}[(1-\upsilon)(\sigma_{xx}^2+\sigma_{yy}^2)-2\mu\sigma_{xx}\sigma_{yy}+2\tau_{xy}^2]

将Ⅰ型裂纹尖端的应力场代入上式得：

\sigma_{xx}=\sigma\sqrt{\frac{a}{2r}}cos\frac{\theta}{2}[1-sin\frac{\theta}{2}sin\frac{3\theta}{2}]

\sigma_{yy}=\sigma\sqrt{\frac{a}{2r}}cos\frac{\theta}{2}[1+sin\frac{\theta}{2}sin\frac{3\theta}{2}]

\tau_{xy}=\sigma\sqrt{\frac{a}{2r}}sin\frac{\theta}{2}cos\frac{\theta}{2}cos\frac{3\theta}{2}

w=\frac{1+\upsilon}{E}\frac{K_1^2}{2\pi R} (1-2\upsilon+sin^2\frac{\theta}{2})cos^2\frac{\theta}{2}

边界条件可以表示为：

T_x(R,\theta)=\sigma_{xx}cos\theta+\tau_{xy}sin\theta=\frac{K_1}{\sqrt{2\pi R}}cos\frac{\theta}{2}(\frac{3}{2}cos\frac{\theta}{2}-\frac{1}{2}）

T_y(R,\theta)=\tau_{xy}cos\theta+\sigma_{yy}sin\theta=\frac{K_1}{\sqrt{2\pi R}}cos\frac{\theta}{2}(\frac{3}{2}sin{\theta})

平面应变情况下裂尖的位移场为：

u_x(R,\theta)=\frac{K_1}{\mu}\sqrt{\frac{R}{2\pi}}(1-2\upsilon+sin^2\frac{\theta}{2})cos\frac{\theta}{2}

u_y(R,\theta)=\frac{K_1}{\mu}\sqrt{\frac{R}{2\pi}}(2-2\upsilon-cos^2\frac{\theta}{2})sin\frac{\theta}{2}

代入 J 表达式整理得：

J=\frac{1-\upsilon^2}{E}K_1^2

同理平面应力条件下可得：

J=\frac{k_1^2}{E}

与积分路径无关，与材料有关，与应力强度因子有确定的关系。因此，J积分反映了裂尖应力应变场的强弱。

I型裂纹的 G 与 K 存在类似上述的关系。

因此， J_1=G_1

线弹性条件下： J 积分与 K 和 G 存在确定关系，且就是能量释放率，在线弹性阶段J积分有明确的物理意义。对于线弹性体的II型和III型裂纹，若裂纹沿原方向扩展，上述等式仍旧成立。可见，不沿原裂纹扩展的裂纹所计算的 J 和能量释放率一样是近似值。

临界状态下有：

J_c=G_{1c}=\begin{cases} \frac{K_{1C}^2}{E},\quad \quad(平面应力)\\ \frac{1-\upsilon^2}{E}K_{1C}^2,\quad (平面应变) \end{cases}

线弹性条件下： J 积分判据不仅存在，且与 G 、 K 判据完全等效。在弹塑性条件下，G 、 K均失效，但J积分却仍然存在。

假定积分路径紧贴着条状屈服区，按逆时针方向从裂纹下表面开始，上表面结束(C)。理想塑性材料，沿积分路径有：

\sigma_{yy}=\sigma_s

\tau_{xy}=0

dy=0

n_x=0

u_{yA}=-u_{yB}

T_{x}=n_{x}\sigma_{xx}+n_y\tau_{xy}=0

T_y=n_x\tau_{xy}+n_{y}\sigma_{yy}=n_y\sigma_s

J=\int_{C}(wdy-T_i\frac{\partial{u_i}}{\partial x}ds)=-\int_{C}(n_y\sigma_s\frac{\partial u_y}{\partial x}ds)=\int_{C}(\sigma_s\frac{\partial u_y}{\partial x} dx)=\int_{-\delta_t/2}^{\delta_t/2} (\sigma_sdu_y)=\sigma_s\delta_t

若材料是幂硬化材料，则积分路径上的应力是x的函数，关系可修正为：

J=k\sigma_s\delta_t

塑性区较小时， k 一般在 1-3 ； k 的取值还与材料的硬化指数、试样尺寸、裂纹类型等有关。

J 积分形变功率定义及物理意义

J=\int_{\Gamma}(wdy-T_i\frac{\partial{u_i}}{\partial x}ds)

J 的回路积分定义虽然定义明确，但物理意义不是非常明确，且测量较为困难，工程应用不方便。 J 的形变功率定义物理意义比较明确，可以方便地对各种裂纹试样的J进行试验标定，工程应用方便。

形变功率定义由Rice首先提出： J=-\frac{1}{B}\frac{dU}{da}+\oint_CT_i\frac{du_i}{da}ds

C 为试样边界围线， U 为弹性应变能， T_i 、 u_i 试样边界的作用力和位移， ds 试样边界的微弧元。可以证明，形变功率定义与回路积分定义完全一致。

J 的形变功率定义中积分只与边界的载荷和位移微商有关，便于计算和实验标定。

线弹性断裂力学中用K描述裂端的应力和应变场，即当 K 达到临界值 K_{1C} 时裂纹失稳扩展， K_{1C} 可作为材料抗断能力的度量。

在弹塑性条件下，要使 J 成为断裂准则的有效参量，则裂端区的应力和应变场必须能由 J 唯一确定，而且，当裂尖应力达到使裂纹开始扩展的临界值时， J 也应达到相应的临界值 J_{1C} 。

含裂纹体弹塑性条件下的应力、应变分析较复杂，解析解很难求得。Hutchinson、Rice和Rosengren利用塑性力学全量理论获得了幂硬化材料的局部解(HRR)，证明了 J 积分同样唯一决定着裂纹尖端应力、应变的强度，而且也具有奇异性。

其应力、应变场可描述为：

\sigma_{ij}=\sigma_s(\frac{EJ}{a\sigma_s^2I_nr})^\frac{1}{n+1}F_{ij}(\theta,n)

\varepsilon_{ij}=\frac{a\sigma_s}{E}(\frac{EJ}{a\sigma_s^2I_nr})^\frac{n}{n+1}\phi_{ij}(\theta,n)

式中， \sigma_s 为材料屈服强度， n 硬化指数， a 和 I_n 与材料相关的系数， F_{ij}(\theta,n) 、 \phi_{ij}(\theta,n) 是与 n 和 \theta 有关的方程。

可见应力、应变的奇异性与 n 有关，奇异性分别为 r^\frac{-1}{n+1} 阶和 r^\frac{-n}{n+1} 。

可见，在弹塑性状态下，当裂纹尖端的应力、应变场到达裂纹扩展的临界状态， J也达到临界值 J_{1C} 。因此，弹塑性状态下可用 J 作为参量建立断裂判据，即：

J=J_{1C} ， J_{1C} ：平面应变条件下 J 的临界值

应当注意的是： J 的守恒性要满足简单加载（应力各分量按比例增长），不允许卸载，也不允许裂纹发生临界扩展，因为临界扩展会导致局部应力松弛。因此， J 断裂判据只是启裂判据，不能用于裂纹扩展过程。 J 积分定义限于二维情况，只适用于平面问题。