图1 Sobol’方法的理论基础——方差分解

在采样的过程中，每个参数都会形成一个分布，并对应的存在一个方差，该方差与输出结果的方差的比值，即为该参数的一阶灵敏度。参数的高阶灵敏度则由该参数与其他参数的偏方差作为分子计算得到。一个参数的全局灵敏度，便是将这个参数的一阶灵敏度，以及所有包含这个参数的高阶灵敏度相加所得到。

而基于矩独立的PAWN方法，则是从输出结果的无条件分布函数与条件分布函数入手。PAWN方法也对参数进行采样，但为了计算先验分布与后验分布函数的差异，该方法使用了KS统计量，见图2.其中F_Y（Y）为输出结果的无条件分布函数，F_Y|Xi(Y)为限制Xi取值时输出结果的分布函数。

图2 参数的KS统计量

KS统计量最小可为0.KS（Xi）越小，表明Xi的不确定性对输出的影响越小，则认为Xi越不敏感。在此基础上，PAWN灵敏度便是考虑了当Xi取遍样本空间时，KS（Xi）的统计信息（如中位数、最大值）。由于KS统计量取值范围在0到1之间，PAWN灵敏度的取值范围也在0到1之间，且PAWN灵敏度越大，认为该参数越敏感。在本文中，将KS统计量换为其他类似的统计量（如Anderson-Darling统计量），对灵敏度分析的结果基本无影响。

为了更好地划分灵敏参数与不灵敏参数，在模型的参数灵敏度分析中，本文添加了一个虚拟参数，该参数的取值对模型结果无影响。以虚拟参数的“灵敏度”作为参照，可以更好地评价参数的灵敏性。

本文以比利时的Zenne河上游为案例区域建立了SWAT模型，使用2001-2005年的时间段进行灵敏度分析，用于灵敏度分析的26个参数及其先验取值范围见表1。

表1用于灵敏度分析26个参数及其先验取值范围

为了比较Sobol’与PAWN方法，本文分别使用了纳什效率系数与平均偏差作为模型精度的评价指标，进行了两次比较。使用这两个评价指标时，采样所得模型输出NSE与ME的概率密度函数见图3.KS检验、Jarque-Bera检验与Lillefors检验的结果都表明NSE与ME的概率分布不服从正态分布。

图3采样所得模型NSE（左）与ME（右）的概率密度函数

两种方法所得的参数灵敏度排序见图4.横线以上的参数灵敏度与虚拟参数接近，认为其为不灵敏参数。

图4以NSE与ME为指标，利用PAWN与Sobol’方法计算所得参数的灵敏度

从图4中可以发现，四种方法所得到的12个灵敏参数基本一致，但是参数的灵敏度排序不同。相比PAWN方法，Sobol’方法并不能很明显地对参数的灵敏度进行划分（Sobol’ 方法所计算得到的灵敏度数值更小，且第5个参数之后的灵敏度就基本相差无几），这可能与输出结果的NSE和ME都不满足正态分布有关。

对于不同的模型性能评价指标，选择不同的灵敏度分析方法，会对灵敏度分析结果产生影响，因此需要按照模型性能评价指标选择合适的灵敏度分析方法。在灵敏度排序的基础上，为了更好地划分参数的灵敏度，在模型中添加一个虚拟参数进行灵敏度分析并参与排序，是一种具有实用价值的分析手段。

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0301479715301638

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