1.灰色系统的定义: 灰色系统指既含有已知信息又含有未知信息的系统。 2.灰色预测模型的定义: 对灰色系统进行预测的模型。 灰色模型(Grey Model,简称GM模型)一般表达方式为GM(n,x)模型,其含义是:用n阶微分方程对x个变量建立模型。 3.灰色预测模型的目的: 通过把分散在时间轴上的离散数据看成一组连续变化的序列,采用累加和累减的方式,将灰色系统中的未知因素弱化,强化已知因素的影响程度,最后构建一个以时间为变量的连续微分方程,通过数学方法确定方程中的参数,从而实现预测目的。 4.灰色系统预测模型的特点: 无需大量数据样本,短期预测效果好,运算过程简单。 5.灰色系统预测模型的不足: 对非线性数据样本预测效果差。
常用的灰色系统预测模型主要有GM(1,1)和GM(1,n),以下分别对这两种模型展开。 【1】.GM(1,1)模型及其matlab实现
GM(1,1)模型的预测原理是:对某一数据序列用累加的方式生成一组趋势明显的新数据序列,按照新的数据序列的增长趋势建立模型进行预测,然后再用累减的方法进行逆向计算,恢复原始数据序列,进而得到预测结果。GM(1,1)建模过程: (1) 设一组原始数据为 ,n为数据个数。对 累加以便弱化随机序列的波动性和随机性,得到新的数列为: 其中, (2) 生成 的邻均值等权数列 其中, (3) 根据灰色理论对 建立关于t的白化形式的一阶一元微分方程GM(1,1): 其中,a,u为待解系数,分别称为发展系数和灰色作用量,a的有效区间是(-2,2),并记a,u构成的矩阵为灰参数 ,只要求出参数a,u,就能求出 ,进而求出 的预测值。 (4) 对累加生成数据做均值生成B与常数项向量 : (5) 用最小二乘法求解灰参数 ,则 (6) 将灰参数 代入 ,并对 进行求解,得 (7) 将上述结果累减还原,即可得到预测值 (8) 利用模型进行预测: (9) 对建立的灰色模型进行精度检验, (9.1)残差检验: 残差: 相对误差: (9.2)后验差检验: 均值: 方差: 残差的均值: 残差的方差: 后验差比值: 小误差概率: (9.3) 预测精度等级对照如下: 预测精度等级 好 P>0.95 C0.80 C0.70 C |