注：读懂本文前两部分不需要线性代数基础 对勾函数 y = x + 1 / x y = x+1/x y=x+1/x 描绘出的曲线实际上是一条双曲线。之所以形式看起来与双曲线标准形式不像，是因为我们坐标系的建立问题。在当前这个坐标系下，其方程的形式不是标准形式。我们没法直接从这个表达式中看出其参数（a b c e 等等）

首先我们要理解以下几点： 1.我们不管怎么建立坐标系，曲线本身形状不会变

2.要想写出平面上某条双曲线的标准方程，我们应该以它的中心对称点为原点，并且让其顶点（或焦点）同时落在x轴或y轴上，要建这样的直角坐标系

3.我们在同一平面上建一个直角坐标系 x o y xoy xoy，然后固定原点不动，将它旋转得到坐标系 x ′ o y ′ x'oy' x′oy′。这两个坐标系都能描述平面上任意一点。根据两个坐标系的基底之间的关系，我们可推导出 将平面上任意一点以 x ′ o y ′ x'oy' x′oy′为基准的坐标转换为以 x o y xoy xoy为基准的坐标。

看完上面这张图还不能理解的话 可以建立xoy 画直线y=x的图像 然后xoy坐标系逆时针转90度得到x’oy’ 看看该直线在x’oy’下的方程是否符合公式

可以去看一下线性代数中的实二次型化为标准型，其实我们在求标准方程时，利用坐标变换消去xy项（交叉项）就是实二次型化为标准型的核心逻辑。

需要了解： 矩阵的乘法 矩阵的

(1)如何用矩阵表示实二次型（以本文中的题目为例）。

y = x + 1 / x < = > − x 2 + x y = 1 ( x 不 等 于 0 ) y = x+ 1/x -x^2+xy = 1 (x不等于0) y=x+1/x−x2+xy=1(x不等于0)，记为 f ( x , y ) = 1 f(x,y) = 1 f(x,y)=1。其中 f ( x , y ) = − x 2 + x y f(x,y) = -x^2+xy f(x,y)=−x2+xy

为了与线代课本中的表示方法保持一致， x 、 y x、y x、y写成 x 1 、 x 2 x1、x2 x1、x2， x ′ 、 y ′ x'、y' x′、y′写成 y 1 、 y 2 y1、y2 y1、y2

f ( x 1 , x 2 ) = ( x 1 , x 2 ) ( − 1 1 / 2 1 / 2 0 ) ( x 1 x 2 ) = X T A X f(x1,x2) = (x1,x2) \left( \begin{array}{ccc} -1 & 1/2 \\ 1/2 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} x1 \\ x2 \end{array} \right) = X^TAX f(x1,x2)=(x1,x2)(−11/2​1/20​)(x1x2​)=XTAX

其中 X = ( x 1 x 2 ) ， A = ( − 1 1 / 2 1 / 2 0 ) X = \left( \begin{array}{ccc} x1 \\ x2 \end{array} \right) ，A = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 1/2 \\ 1/2 & 0 \end{array} \right) X=(x1x2​)，A=(−11/2​1/20​)

A对角线上的 a 11 a11 a11是 x 2 x^2 x2的系数， a 22 a22 a22是 y 2 y^2 y2的系数， a 12 = a 21 a12 = a21 a12=a21 是xy系数的 1 / 2 1/2 1/2。

(2)如何得到标准方程

为了消去 f ( X ) f(X) f(X)中的交叉项，我们希望将 f ( X ) = X T ( − 1 1 / 2 1 / 2 0 ) X = X T A X f(X)= X^T \left( \begin{array}{ccc} -1 & 1/2 \\ 1/2 & 0 \end{array} \right) X=X^TAX f(X)=XT(−11/2​1/20​)X=XTAX

写成 ( y 1 , y 2 ) B ( y 1 y 2 ) = Y T B Y (y1,y2)B \left( \begin{array}{ccc} y1 \\ y2 \end{array} \right) = Y^TB Y (y1,y2)B(y1y2​)=YTBY，其中 B B B 是一对角阵（意味着没有交叉项）， B B B 正是我们想求的。

根据本文第二部分，易知X和Y之间的这种坐标变换是可逆线性变换，那么有 X = C Y X = CY X=CY，而且易知 C C C是一正交矩阵。

X = C Y X = CY X=CY 代入 f ( X ) f(X) f(X)中得到 B = C T A C = C − 1 A C B = C^TAC = C^{-1}AC B=CTAC=C−1AC

到这一步，已经可以看出求 B B B 就是对 A A A进行对角化。

实际上，B的对角线上是A的特征值。因此，A的特征值就是标准型的系数。

比如说特征值是 1,-1 那么标准型就是 x 2 − y 2 = 1 x^2-y^2 = 1 x2−y2=1 或 y 2 − x 2 = 1 y^2 - x^2 =1 y2−x2=1， 实际上这两个都对，只是把x轴和y轴换了一下。

线代已好久没看过了，如果这里说的不准确请见谅，有错误请指出