简 介： 本文讨论了 Sallen-Key 低通滤波器的设计。为了便于具体电路参数选择，采用了比率 设计方案进行讨论，大大提高了电路参数的实现可能性。 关键词： Sallen Key，低通滤波器，比率

  近期由于需要测试所搭建的高阻抗信号源放大电路，其中包括有低通滤波器，所以研究了 Sallen-Key topology 相关滤波电路电路。如下是 Kennth A. Kuhn 在 2016 给出的 Sallen-Key Low-Pass Filter 设想步骤的相关内容； 2002年 TI 给出的 Analysis of the Sallen-Key Architecture 应用报告，给出了不同 Kallen-Key 电路理论分析。

  Sallen-Key 电子滤波器拓扑结构，由于其结构简单，被用于二阶有源滤波器电路设计，它是 VCVS（电压控制-电压输出）滤波器简化版本。 VCVS 滤波器使用输入阻抗高、输出阻抗低的电压放大器来实现 2 个极点的低通、高通、带通滤波器。在不使用电感的情况下，可以获得高 Q 值，通带增益可调。多个 VCVS 滤波器可以直接级联形成高阶滤波器。 Sallen-Key 滤波器则使用单位电压增益的放大器（俗称电压跟随器）设计的有源滤波器电路。

  在1955年 R.P.Sallen，与 E.L.Key 利用了真空电子管阴极跟随放大器-具有近似单位电压增益电路设计滤波器。 现代电子线路中则是普通的运算放大器进行设计，简单情况下，使用晶体管发射极跟随或者源极跟随器进行设计。

  虽然 Sallen-Key 电路结构可以形成不同特性的滤波器，由于后面实验需要，后面仅仅对低通滤波器设计进行讨论。下图是单位增益低通滤波器，可以实现 s 平面上任意极点（实数，或者复数）位置配置。通常情况下，四个器件（R1，R2，C1，C2）取值各不相同。

  为了简化分析，考虑在 s 域分析上述电路。利用 Kirchoff 节点电流定理，流过 R1 的电流等于流过 R2，C1的电流之和。方便起见，将 R1，R2，C1 连接节点电压临时设为 Vx。利用工作在放大区域的运放“虚短”特性，可以知道运放两个输入端的电压都都与 Vo。于是有如下方程：

  两边乘以 R1,R2消除分母，可得：

  在根据 Vx，Vo之间的关系是 R2，C2 的分压关系，可以知道：

  这样可以得到：

  将 （4）代入（1）经过化简可以得到滤波器输入输出之间的传递函数

  根据标准的二阶系统的形式：

  可以得到系统的自然谐振频率 ω n \omega _n ωn​ 和阻尼系数 ζ \zeta ζ ：

  电路设计是电路分析的逆过程，根据已知的两个指标（自然谐振频率和阻尼系数）设计相应的电路参数。由于未知参数是四个，所以理论上满足设计指标的滤波器参数有无穷多个。在实际电路中并不是所有的电路参数都能够很好的工作（比如电阻，电容的取值不能够太大，或者太小等），因此我们系是要确定实际可以使用的电路参数。

  通常情况下，为了减少待定参数的个数，我们先选择任意合适的电阻 R 1 = R 2 = R R_1 = R_2 = R R1​=R2​=R ，然后确定电容 C1，C2 的取值。这个方法看起来不错，但实际上执行起来往往计算出来的电容取值不是标准电容系列，这就需要通过串联和并联的方式来获得合适的电容。 为了避免上述问题，往往先选择两个电容的取值 C 1 = C 2 = C C_1 = C_2 = C C1​=C2​=C ，在通过公式计算两个电阻 R 1 , R 2 R_1 ,R_2 R1​,R2​ 。由于电阻系列往往具有较细的分级，所以计算出的电阻可以比较好得到满足。

  问题又来了，逻辑上 C1，C2 取相同的容值可以简化电路设计，通过公式（7）可以看到电路的阻尼系数 ζ \zeta ζ 将会永远大于 1.0，在一些要求阻尼系数小于 1.0 时这个隐藏的缺陷可能凸显出来。因此需要通过完整的数学而不是直觉彻底避免这个缺陷。

  在工程数学中有一句俗语：“比例是你的朋友”（Ratios are your friend）。 求解比例值，若不是形成比例值的具体参数可以减少未知变量的个数，从而简化设计过程。下面给出的设计就是求解两个比例 C1/C2，R1/R2。虽然数学推导过程看似繁琐到令人发指，但结果却非常简单。

  根据公式（7），为了方便起见，先对阻尼系数等式两边平方：

  将上述公式展开，并整理成比例形式

  重新成立成关于比值 R2/R1 的二次方程：

  最后求解化简可得：

  费尽万难得到公式（11），可以看出，当要求滤波器阻尼系数小于 1.0 时， 对应的电阻比值 R2/R1 就会出现复数情况，这当然在实现过程中出现困难。

  在文档 Choosing Resisters and Capacitors for Op-Amp Active Filters 给出了有源滤波器设计中电阻、电容选择标准系列。 首先可以根据下面公式计算出 C1，C2 的几何平均值：

  其中 Fn 是滤波器的自然频率，单位 Hz （ ω / 2 π \omega /2\pi ω/2π ），公式计算出的电容单位是法拉。当滤波器阻尼系数 ζ \zeta ζ 要求小于 1 时， C1 可以选择比几何平均值大，C2 选择较小的值。反之，当阻尼系数大于 1 时， C1，C2 的大小关系反过来。

  首先计算出 C 1 = C / ζ C_1 = C/\zeta C1​=C/ζ ，然后根据电容标准系列选择合适的 C1 数值。 建议选择较小的标准电容值，这样在后面计算 C2 和电阻值时比较容易得到实际可用的数值。 选择 C1 的数值可以在 三倍计算数值范围内选择。

  根据选择的 C1 数值，计算出 C 2 < ζ 2 C 1 C_2 < \zeta ^2 C_1 C2​