终端滑模(Terminal滑模)理解 |
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一、什么是终端滑模
在前面所介绍的滑模控制中,我们是选取了一个线性的滑模面s,使系统达到滑模面后,误差逐渐收敛到0,收敛的速度可以通过调节滑模面的参数来实现。后来人们为了使滑模控制有更好的性能,便想到将滑模面设计成非线性函数,构造Terminal滑模面,使得在滑模面上误差可以在指定时间T内收敛到0,于是就产生终端滑模. 二、终端滑模形式终端滑模面的形式有很多,主要要把握其思想,下面我将以一种比较经典的滑模面介绍Terminal滑模。 根据前面滑模介绍,相信大家都了解了滑模变结构控制有两个阶段:一是到达阶段,这一阶段是指系统从初态到达s=0的滑模面上,当然,如果系统初态处于s=0的切换面上时,则是不存在这一阶段;二是在滑模面上滑动的阶段,即在s=0的切换面上滑动到平衡点。在这一阶段
s
=
0
,
s
˙
=
0
s=0,\dot{s}=0
s=0,s˙=0,我曾经也不理解为什么s与s的导数都为0系统仍然在运动,其实你可以这样理解,在滑动阶段,系统状态一直处于s=0的滑模面上滑动,s没有变化,因此
s
˙
=
0
\dot{s}=0
s˙=0;系统在s=0上滑动是因为s的形式,这个我后面会详细说明 比较常用的一种终端滑模面设计如下:
s
=
x
˙
+
α
x
+
β
x
q
p
=
0
⋅
⋅
⋅
(
1
)
s=\dot{x}+\alpha x+\beta x^{\frac{q}{p}}=0\cdot \cdot \cdot (1)
s=x˙+αx+βxpq=0⋅⋅⋅(1)其中x是状态变量,
α
>
0
,
β
>
0
\alpha >0,\beta >0
α>0,β>0,q与p是正奇数,且
q
<
p
qx1˙=x2˙=x2x1x2+2x2+u⋅⋅⋅(11) 目的是设计一镇定控制器,使x1收敛为0,按照上一节的理论设计如下滑模面:
s
=
x
1
+
1
β
x
2
p
q
=
0
⋅
⋅
⋅
(
12
)
s=x_{1}+\frac{1}{\beta }x_{2}^{\frac{p}{q}}=0\cdot \cdot \cdot(12)
s=x1+β1x2qp=0⋅⋅⋅(12)这个滑模面保证了系统在滑动阶段收敛,接下来开始设计到达阶段,即从
s
≠
0
s\neq 0
s=0到s=0的阶段。我们在高中数学都应该知道,一个函数的导数反映了函数的变化,因此我们对s求导,导数如下:
s
˙
=
x
2
+
1
β
p
q
x
2
p
q
−
1
x
2
˙
⋅
⋅
⋅
(
13
)
\dot{s}=x_{2}+\frac{1}{\beta}\frac{p}{q}x_{2}^{\frac{p}{q}-1}\dot{x_{2}}\cdot \cdot \cdot(13)
s˙=x2+β1qpx2qp−1x2˙⋅⋅⋅(13)取p=5,q=3,
β
=
1
\beta=1
β=1,式(13)化简如下
s
˙
=
x
2
+
5
3
x
2
2
3
x
2
˙
⋅
⋅
⋅
(
14
)
\dot{s}=x_{2}+\frac{5}{3}x_{2}^{\frac{2}{3}}\dot{x_{2}}\cdot \cdot \cdot(14)
s˙=x2+35x232x2˙⋅⋅⋅(14)将式(11)代入(14)
s
˙
=
x
2
+
5
3
x
2
2
3
(
x
1
x
2
+
2
x
2
+
u
)
⋅
⋅
⋅
(
15
)
\dot{s}=x_{2}+\frac{5}{3}x_{2}^{\frac{2}{3}}(x_{1}x_{2}+2x_{2}+u)\cdot \cdot \cdot(15)
s˙=x2+35x232(x1x2+2x2+u)⋅⋅⋅(15)我们在前面介绍了趋近律,我们令
s
˙
=
−
5
3
x
2
2
3
(
k
s
+
η
s
i
g
n
(
s
)
)
⋅
⋅
⋅
(
16
)
\dot{s}=-\frac{5}{3}x_{2}^{\frac{2}{3}}(ks+\eta sign(s))\cdot \cdot \cdot(16)
s˙=−35x232(ks+ηsign(s))⋅⋅⋅(16)其中
k
,
η
k,\eta
k,η为正数。可以解出控制律
u
=
−
k
s
−
η
s
i
g
n
(
s
)
−
3
5
x
2
1
3
−
x
1
x
2
−
2
x
2
⋅
⋅
⋅
(
17
)
u=-ks-\eta sign(s)-\frac{3}{5}x_{2}^{\frac{1}{3}}-x_{1}x_{2}-2x_{2}\cdot \cdot \cdot(17)
u=−ks−ηsign(s)−53x231−x1x2−2x2⋅⋅⋅(17)利用simulink仿真,假定
x
1
,
x
2
x_{1},x_{2}
x1,x2的初值分别是2,3,模型如下 x2曲线如下 看了上面的介绍和仿真,大部分人会有一个疑问:为什么要用终端滑模?在我们以前学习过的控制理论中,大家应该都了解过李亚普诺夫稳定,渐近稳定,指数稳定等。但这些稳定都有一个特点,那就是收敛时间无限大,在理论上只有当 t = ∞ t=\infty t=∞时,系统才能收敛到平衡点,但终端滑模在理论上是有限时间稳定,有限时间稳定的定义比较复杂,我以通俗的话说明一下:系统可以在有限时间T内稳定在平衡点。相比于其他稳定,有限时间稳定可以给我们一个更加明确的时间上界,让我们判断系统此时是否达到我们稳定要求。至于终端滑模时间证明,建议参考刘金琨老师的《滑模变结构控制MATLAB仿真》,电子版已经发到我的CSDN里了,有需要自行下载。本人学识浅薄,若有不当之处,欢迎大家指正,创作不易,希望大家点点关注和赞。 五、关于公式(16)的补充 |
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