1、中频感应加热炉温度控制系统的数学建模摘 要：通过对中频感应加热炉温度控制系统的数学建模，可以更精确的对温度进行控制，从而得到电源功率与温升的最佳方案，使电能得到最高效的利用，从而在最快的时间内达到所需要的最准确的温度，减少工件的废品率，并提高生产效率。本文运用电磁学及热学的知识，研究中频感应加热炉温度控制系统电源输出功率与被加热材料电涡流的关系；电涡流与发热量的关系；发热量与温升的关系。从而得出电源的输出功率与被加热材料温升的电-热学模型。数学模型中运用金属材料学的知识考虑材料电阻、比热随温度变化而变化的影响，得出在这些条件影响下的数学模型。简化得出的加热炉温度控制系统为一阶惯性系统。以某中频

2、感应加热炉为例，计算各环节的数学关系并建立其温度控制系统的数学模型。这些研究工作为系统的仿真、技术培训及控制优化提供了理论基础。关键词：中频感应加热炉；温度控制系统；数学模型；感应线圈；涡流；发热量；温升The mathematical modeling of temperature control system about medium frequency induction heating furnaceAbstract：Based on the medium frequency induction heating furnace temperature control system mo

3、deling, can be more accurate temperature control, so as to obtain the power and temperature rise is the best solution, so that electricity can be the most efficient use, resulting in the fastest time to meet the needs of the most accurate temperature, reduce the reject rate, and improve production e

4、fficiency. In this paper, using the electromagnetic and thermal knowledge, study of the medium frequency induction heating furnace temperature control system power supply and the material to be heated electric eddy current; eddy current and heat; heat and temperature relationship. Thus the power out

5、put and the material to be heated temperature electro thermal model. A mathematical model using metal material science knowledge considering material, heat resistance changes with temperature effects obtained in these conditions, mathematical model. Simplify the heating furnace temperature control s

6、ystem as an inertial system. A medium frequency induction heating furnace as an example, the mathematical relationship between the calculated to establish the mathematical model of the temperature control system. The research on the system provides theoretical basis for simulation, technical trainin

7、g and Control optimization theoretical basis .Keywords：Medium frequency induction heating furnace;Temperature control System;Mathematic model;Induction coil;Eddy current;Calorific value西安石油大学本科毕业设计（论文）目 录1 绪论 .11.1 感应加热的基本原理 .11.2 感应加热炉的作用 .11.3 数学模型和一般建模方法 .21.3.1 数学模型的定义及分类 .21.3.2 一般的建模方法 .31.4 常

8、规加热炉的数学模型 .41.4.1 简易的加热炉温度系统数学模型 .41.4.2 连续加热炉的数学模型 .51.5 课题研究的内容和目的 .61.6 论文安排 .72 中频感应加热炉系统结构分析 .82.1 中频感应加热炉系统总体结构 .82.2 中频电源的结构分析 .92.3 加热炉的结构分析 .102.4 被加热材料的输送装置 .113 中频感应加热炉温度控制系统的数学建模 .123.1 中频感应加热炉温度控制系统的结构 .123.2 加热炉感应线圈的数学模型 .133.2.1 温度对加热炉感应线圈电阻的影响 .133.2.2 线圈电流与电源输出功率的关系 .153.2.3 电源输出功率与

9、线圈磁感应强度的关系 .163.2.4 感应线圈数学模型的简化 .173.3 被加热材料涡流的数学模型 .173.3.1 感应线圈与被加热材料涡流的关系 .173.2.2 被加热材料涡流的简化数学模型 .183.3 被加热材料涡流与热功率的关系模型 .183.4 被加热材料电阻率随温度变化对系统的影响 .193.4.1 材料被加热部分受温度影响下的电阻 .193.4.2 受温度影响下的 的简化值 .20WR3.4.3 电阻随温度变化对材料涡流的影响 .213.4.4 电阻随温度变化对材料自发热的影响 .21西安石油大学本科毕业设计（论文）I3.5 热功率与发热量的关系 .223.5.1 传送速

10、度与加热时间的关系 .223.5.2 材料发热量的数学模型 .223.5.3 传送速度为 时材料发热量的数学模型 .23v3.6 被加热材料出口温度的数学模型 .233.6.1 发热量与出口温度的关系 .233.6.2 出口温度的简化数学模型及传递函数 .243.6.3 材料比热随温度变化对材料导热的影响 .253.7 中频感应加热炉温度控制系统的数学模型 .273.7.1 温度控制系统的框图 .273.7.2 中频感应加热炉温度控制系统的数学模型 .283.7.3 中频感应加热炉温度控制系统的 S 传递函数 .283.8 本章小结 .294 某型号的中频感应加热炉温度控制系统数学模型 .30

11、4.1 某型号中频感应加热炉结构 .304.2 A 加热炉各参数及说明 .304.3 A 加热炉温度控制系统的数学模型 .324.3.1 A 加热炉感应线圈的数学模型 .324.3.2 A 加热炉材料涡流的数学模型 .324.3.3 A 加热炉材料涡流与热功率的关系 .334.3.4 A 加热炉 I 材料（自发热）环节的传递函数 .334.3.5 A 加热炉材料（热导）环节模型 .334.3.6 A 加热炉的数学模型 .335 总结与展望 .35参考文献 .36西安石油大学本科毕业设计（论文）01 绪论1.1 感应加热的基本原理感应加热的基础是法拉第发现的电磁感应现象，即交变的电流会在导体中产

12、生感应电流使导体周围产生感应磁场，被加热的材料(即坯料)的内部在磁场的作用下产生电涡流,依靠这些涡流的能量达到加热目的。感应加热的过程实际上是电磁感应过程和热传导过程的综合体现。其中,电磁感应过程具有主导作用,它影响并在一定程度上决定着热传导过程。热传导过程中所需要的热能量实际上是由电磁感应过程中所产生的涡流功率所提供。感应加热所遵循的主要依据是电磁感应、 “趋肤效应” 、和热传导这 3 项基本原理 1。任一导体通过电流时,在其周围都会同时产生磁场。当线圈中的电流是交变电流时,在线圈内部和周围就产生一个交变的磁场。在感应加热时,置于感应线圈内的工件就被这个交变磁场的磁力线所切割。在工件的内部产

13、生电涡流（工程上规定从导体表面到电流密度为导体表面的 1/e0.368 的距离 为趋肤深度 2，即电涡流只产生在距导体表面深度为 的区域） ，使工件表面温度升高，达到加热的效果。而工件内部则是通过热传递的方式进行加热的，表面温度高于内部的温度，所以他们之间进行温度的融合而使工件表芯温度近似相等。中频感应加热炉温度控制系统的工作原理是，系统根据设定的加热温度、生产的线速度等参数，把加热材料所需的热能换算成电能，根据所需的电功率设定整流电压，然后由电压电流双闭环系统控制晶闸管完成直流电压的调节。逆变器为自激系统，不可调。这样系统就把电能转变成热能，使材料加热到所需的温度。1.2 感应加热炉的作用其

14、主要应用有 1：有色金属的冶炼，金属材料的热处理，锻造、挤压、轧制等型材生产的透热，焊管生产的焊缝；各种机械零件的淬火，以及淬火后的回火、退火和正火等热处理的加热；罐头以及其他包装的封口；电子管真空除气的加热。因此感应加热的应用十分广泛，它最大的特点是将工件直接加热，优点是工人劳动条件好、工件加热速度快、温度容易控制、加热过程中不会混入金属杂质及金属损耗小、易于实现自动化和在线生产、生产效率高等。感应加热属非接触加热方式，能提供高的功率密度，在加热温度和深度上有高度灵活的选择性，能在各种载气（空气、保护气、真空）中工作 ，损耗极低，不产生任何物理污染，符合环保和可持续发展方针，是绿色环保型加热

15、工艺之一。加热炉的种类很多，其中感应电炉按结构分，有坩埚式（通常称无芯感应电炉）西安石油大学本科毕业设计（论文）1和沟槽式（通常称有芯感应电炉）两大类。沟槽式又可分为卧式和立式。感应加热炉有工频、中频和高频之分，我们主要研究的是中频感应加热炉。感应电源按频率范围可分为以下等级：500Hz 以下为低频，110KHz 为中频，20KHz以上为超音频和高频。中频感应加热炉一般采用的频率范围为 0.58KHz。我们所研究的感应加热炉为有芯中频感应加热炉，其额定功率为 400KW。目前感应加热制造业的服务对象主要是汽车制造业，今后现代冶金工业将对感应加热有较大需求。尤其是现在国内感应淬火工艺装备制造业也

16、日益扩大，产品品种多，原来需要进口的装备，逐步被国产品所取代，在为国家节省外汇的同时，发展了国内的相关企业。如今，感应加热与可控气氛热处理、真空热处理少无氧化技术已成为热处理技术的发展主流。1.3 数学模型和一般建模方法1.3.1 数学模型的定义及分类所谓数学模型 3（Mathematical Model）是指通过抽象和简化，使用数学语言对实际现象的一个近似刻画，以便于人们更深刻地认识所研究的对象。数学模型也不是对现实系统的简单模拟，它是人们用以认识现实系统和解决实际问题的工具。数学模型是对现实对象的信息通过提炼、分析、归纳、翻译的结果。它使用数学语言精确地表达了对象的内在特征。通过数学上的演

17、绎推理和分析求解，使得深化对所研究的的实际问题的认识。 例如，描述人口 随时间的增长过程的数学模型 ，尽管由于它tNtrNdt忽略了性别、年龄、社会经济和自然界的约束条件等许多与人口增长有关的因素，相对于实际人口的动态来说大大的被简化了，虽然这个数学模型有一定的偏差，但是他所揭示出的人口指数增长的结论是人们不得不面对的严酷事实。这种应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模（Mathematical Modeling） 。不论是用数学方法在科技和生产领域解决哪类实际问题，还是与其它学科相结合形成交叉学科，首要的和关键的一步是建立研究对象的数学模型，并加以计算求解。数学建模和计

18、算机技术在知识经济时代的作用可谓是如虎添翼。 数学模型主要是使用数学知识来解决实际问题。一个好的模型不在于它使用了多么高深的数学，而是要用较强的实际背景，最好是直接针对某个实际问题。模型应该经过实际检验表明是可以接受的，他应该能让我们对所研究的问题有进一步的了解，而且应该是尽可能的简单以利于使用者理解和接受。西安石油大学本科毕业设计（论文）2数学模型可以按照不同的方法分类。按照模型的应用领域可以分为数量经济模型、医学模型、地质模型、社会模型等，更具体有人口模型、交通模型、环境模型、生态模型等。数学模型的初衷是洞察源于数学之外的事物或系统。通过选择数学系统，建立原系统的各个部分与描述其行为的数学

19、部分之间的对应，达到发现事物运行的基本过程的目的。因此，通常也有如下的分类。1. 观察模型和决策模型；2. 确定型模型和随机型模型；3. 连续模型和离散模型；4. 解析模型和仿真模型。1.3.2 一般的建模方法建立一个实际问题的数学模型的方法大致有两种：一种是实验归纳的方法，即根据测试或计算数据，按照一定的数学方法，归纳出问题的数学模型；另一种是理论分析的方法，即根据客观事物的本身性质分析因果关系，在适当的假设下用数学工具描述其数量特征。建立数学模型的一般步骤为：1. 建模准备首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类

20、模型，总之是做好建模的准备工作情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料.2. 建模假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解不同的简化假设会得到不同的模型假设作得不合理或过份简单，会导致模型失败或部分失败，于是应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也

21、可以是二者的综合作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化经验在这里也常起重要作用写出假设时，语言要精确，就象做习题时写出已知条件那样西安石油大学本科毕业设计（论文）33. 模型建立根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量( 常量和变量)之间的等式(或不等式)关系或其他数学结构这里除需要一些相关学科的专门知识外，还常常需要较广阔的应用数学方面的知识，以开拓思路.当然不能要求对数学学科门门精通,而是要知道这些学科能解决哪一

22、类问题以及大体上怎样解决相似类比法，即根据不同对象的某些相似性，借用已知领域的数学模型，也是构造模型的一种方法建模时还应遵循的一个原则是，尽量采用简单的数学工具，因为你建立的模型总是希望能有更多的人了解和使用,而不是只供少数专家欣赏.4. 模型求解可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值计算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术5. 模型检验把数学上分析的结果翻译回到实际问题，并用实际的现象、数据与之比较，检验模型的合理性和适用性这一步对于建模的成败是非常重要的，要以严肃认真的态度来对待当然，有些模型如核战争模型就不可能要求接受实际的检验了模型检验的结果如果不符合或者部分不符合

23、实际，问题通常出在模型假设上，应该修改、补充假设，重新建模有些模型要经过几次反复，不断完善，直到检验结果获得某种程度上的满意6. 模型应用用已建立的数学模型分析解释已有现象，并预测未来的发展趋势，以便给人们的决策提供参考。应当指出，并不是所有建模过程都要经过这些步骤，有时各步骤之间的界限也不那么分明建模时不应拘泥于形式上的按部就班，重要的是根据对象的特点和建模的目的，去粗取精，去伪存真，从简到繁，不断完善。在实践中，能够直接运用数学方法解决实际问题的情形是很少见的。也就是说，实际问题很少直接以数学的语言出现在我们面前。而且对于如何使用数学语言来描述所面临的实际问题也不是轻而易举的。应用数学知识

24、来解决实际问题的第一步必须要面对实际问题中看起来杂乱无章的现象，并从中抽象出恰当的数学关系，也就是组建这个问题的数学模型，这个过程就是数学建模。1.4 常规加热炉的数学模型1.4.1 简易的加热炉温度系统数学模型加热材料所需的热功率与材料穿过线圈速度的关系 4：西安石油大学本科毕业设计（论文）4inoutSecSHWE (1.1) (1.2) vPs(1.3)et式中： ec 材料的截面积， 2m ；S 材料的体积质量， k g / 3 ；H 材料的质量热容， J / ( k g K ) ；int 材料的人口温度， ；out 材料的出口温度， ；v 材料穿过加热线圈的速度， m / s ；tP

25、 加热材料所需的热功率， W；e 转换成热功率所需的电功率， W；SE 加热 l m 材料所需的能量， J / m； 能量转换效率， %。由式( 1.3 ) 可知，电功率与材料的相对速度成正比。不同规格的钢丝在处理之前， 都必须通过调试设置各参数值，设定的值保存在工控机中，而后生产不同规格的产品，只需调用相应的加热曲线即可。中频炉控制系统接受选用的加热参数，从而控制整个加热过程。以上就是中频感应加热炉的一个很简易的加热模型，从这几个数学关系表达式中可以得出加热材料所需的热功率与被加热材料的截面积、质量热容、人口温度、出口温度以及材料穿过加热线圈的速度的关系。1.4.2 连续加热炉的数学模型1）

26、 炉温模型 5通过对测点炉温进行线性插值定义，沿长方向的一维空间炉温分布用下式表示：,yTff (1.4)其中 一炉温， y一沿炉长方向坐标； 一时间fT2) 锅锭内部导热模型由于钢锭在炉内紧密排列及对炉温模型简化假设，可以认为炉内钢锭温度分布是维空间的，既是沿厚度方向坐标 x 的函，又是沿炉长方向坐标夕的函数，后者由钢节奏确定.所以就某一钢锭而言，其内部传热可用一维不稳定导热的偏微分方程加以描述：(1.5)Tx12西安石油大学本科毕业设计（论文）5式中 T 一钢锭温度； a一钢锭材料的汁温系数。根据有限差分原理把式 (1.5)描述的连续系统在时间和钢锭沿厚度方向离散化，式（1.5）改写为：(

27、1.6)niniTx12式中 i一空间离散节点序列； 一时间间离散序列。为了减少计算量，采用完全隐式差分格式，则钢锭内部各节点温度与表面温度的关系可表示为如下矩阵形式：nTBnATS1 (1.7)其中 A为 aM阶方阵;B 为 a个元素的行阵，M 为空间离散的节点数。T 为钢锭内部各节点温度; 为钢锭表而温度。从式(1.7) 可知表面温度与点温度S的关系，这一性质为式(1.6)的求解带来方便，当表面温度己知时可用追赶法对该不稳定导热问题进行数值求解。通过对加热炉的简易模型及连续加热炉温度模型的举例，我们了解了加热炉的数学建模方法。但是上述的加热模型都主要集中在研究加热炉的部分，但都不是对感应加

28、热炉温度控制系统的数学建模，虽然大体的建模方法与之相似但是还有很大的不同，不过以上的工作还是为我们的研究提供了很好的参考。所以我们有必要对中频感应加热炉的温度控制系统各个参数间的关系进行分析，建立其数学模型。所以对感应加热系统进行数学建模研究其加热过程中各变量的关系是十分必要的。1.5 课题研究的内容和目的对中频感应加热炉温度控制系统的数学建模，就是剖析加热炉的结构，分析其加热原理，研究其从电到热的转换过程，确定电源输出与线圈磁感应强度的关系，建立被加热材料涡流的数学模型，基于能量守恒定律建立热量与温升的关系模型。从而写出中频感应加热炉温度控制系统的传递函数。在建立感应加热炉感应线圈的数学模型时，线圈本身的发热会影响这个温度控制系统，而其电阻率随温度的变化也是系统中的干扰因素之一。在研究电涡流与发热量之间的关系时，因被加热材料的形状、种类和温度的不同而有着不同的阻抗，则其电涡流与发热量之间的关系也就不一样。除此之外研究发热量与温升之间的关系时，影响因素有加热停留时间，入口温度和环境温度。只有发现问题才能解决问题，所以对中频感应加热炉温度控制系统的数学建模就是发现问题并分析他。所以