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　　效用是指商品满足人的欲望的能力评价，即消费者在消费商品时所感受到的满足程度。

　　效用可分为基数效用和序数效用：

基数效用论：

序数效用论：

　　边际效用：消费者在一定时间内增加一单位商品的消费所得到的效用量的增量。

　　定义总效用为：\(TU=f(Q)\)，那么边际效用为：\(MU=\frac {dTU(Q)} {dQ}\)

　　在一定时间内，在其他商品的消费数量保持不变的条件下，随着消费者对某种商品消费量的增加，消费者从该商品连续增加的每一消费单位中所得到的效用增量即边际效用是递减的。

　　边际效用递减满足两个条件：

　　将两个不同消费者的无差异曲线放在同一坐标轴中，两条无差异曲线可能相交。

　　无差异曲线越陡峭，表明消费者越喜欢横轴商品。如图，消费者 1 更喜欢商品 \(X_1\)，消费者 2 更喜欢商品 \(X_2\)。

理解补充：

对于消费者 1，a 点于 d 点商品组合无差异；对于消费者 2，a 点于 c 点商品组合无差异。两个消费者增加的商品 \(X_1\) 数量相同，但消费者 2 减少的商品 \(X_2\) 数量更少，表明与消费者 1 相比，消费者 2 更偏好商品 \(X_2\)。

　　商品的边际替代率（marginal rate of substitution，MRS）是指在维持效用水平不变的前提下，消费者增加一单位某种商品的消费数量时所需要放弃的另一种商品的消费数量。商品 1 对商品 2 的边际替代率的定义公式为：\(MRS_{XY} = - \frac {\Delta Y} {\Delta X} = \frac {MU_X} {MU_Y}\)

　　证明过程：在无差异曲线上，效用不变，即 \(dU=0\)，对效用函数进行全微分，可以得到：

\[ \begin {align} dU= \frac {\partial U} {\partial X} \cdot dX + \frac {\partial U} {\partial Y} \cdot dY=0 \end{align} \]

　　因此：$ {MU_Y } = - {dX} $，即 $MRS_{XY } = {MU_Y } $

　　边际替代率为无差异曲线该点的斜率绝对值。

　　在维持效用水平不变的前提下，随着一种商品的消费数量的连续增加，消费者为得到每一单位的这种商品所需要放弃的另一种商品的消费数量是递减的。

　　边际替代率递减规律决定了无差异曲线的斜率的绝对值是递减的，即无差异曲线是凸向原点的。

　　完全替代品指两种商品之间的替代比例是固定不变的情况。在完全替代的情况下，两种商品之间的边际替代率 \(MRS_{12}\) 为常数，相应的无差异曲线是一条向下倾斜，斜率不变的直线。

　　此时，两种商品相应的效用函数为：\(U(x_1,x_2) = ax_1 + bx_2\)

　　对于完全替代品，边际替代率为：\(MRS_{12}=a\)（\(a\) 是常数）

　　例如：可口可乐与百事可乐，不同品牌的汽油

　　完全互补品指两种商品必须按固定不变的比例同时被使用的情况。在完全互补的情况下，相应的无差异曲线为直角形状，且最优消费点为拐点。两种商品相应的效用函数为：\(U(x_1,x_2) =\min(ax_1 , bx_2)\)

　　对于完全互补品，边际替代率为：$ MRS_{12} = { MRS_{21} } $

　　例如：眼镜片与眼镜架，左鞋与右鞋

　　厌恶品（Bads）就是消费者不喜欢的商品。假设消费者消费的两种商品，一个是喜欢的，一个是厌恶的，当消费者要增加对厌恶品的消费时，若要保持偏好不变，必须要增加对喜欢品的消费，即对消费者进行补偿。

　　中性商品是消费者无论从哪方面说都不在乎的商品。中性商品的无差异曲线为垂直于横轴的直线。

　　预算约束线（budget line）又称为预算线、消费可能线和价格线， 表示在消费者的收入和商品的价格给定的条件下，消费者的全部收入所能购买到的两种商品的各种组合。

　　预算方程式为： $ P_1 X_1 + P_2 X_2 = I $

　　预算约束线以内的区域\(\Delta O Y_{max} X_{max}\)为可行域（灰色部分），为消费者可以负担得起的消费集合。预算约束线外的区域是消费者无法负担的商品组合。

　　增加（减少）收入并不会使预算线的斜率发生变化，只会使预算线向外（内）平移。

　　如果商品 1 的价格上升（下降），商品 2 价格不变，纵截距不会发生变化，横截距会变小（变大），从而预算线变得更加陡峭（平坦）。

　　如果消费者的收入、商品 1 与商品 2 的价格发生同比例同方向的变动，预算约束线不发生变化，消费者花全部收入购买任何一种商品的数量未发生改变。

　　在一定的预算约束下，为了实现最大的效用，消费者应该选择最优的商品组合，使得两种商品的边际替代率等于两种商品的价格之比。

　　如图，直线 \(AB\) 为预算约束线，\(\Delta OAB\) 为可行消费束，直线 \(AB\) 上方为不可行的消费束；预算约束线 \(AB\) 与无差异曲线 \(U_2\) 相切于 E 点，在 E 点处达到消费者均衡（消费者效用最大化），\(U_2\) 上方为更受偏好的消费束。

　　无差异曲线与预算线相切时（无差异曲线为标准形式），消费者实现效用最大化。在均衡点有：

\[ \begin {align} MRS_{12}=- \frac {P_1} {P_2} \end {align} \]

　　等式左边表示消费者的替换意愿，等式右边表示市场的替换意愿。

数学补充：

使用拉格朗日乘子法证明，过程如下：

第一步，将经济问题转化成数学模型，即：在约束条件 \(P_1 X_1 + P_2 X_2 = I\) 下，求 \(U(x_1,x_2)\) 的最大值。

第二步，数学求解。拉格朗日函数：\(\Lambda(x_1,x_2, \lambda) =U(x_1,x_2) + \lambda (I - P_1 X_1 - P_2 X_2 )\)，根据一阶条件求解：

\[ \begin {cases} \frac {\partial \Lambda} {\partial X_1} = \frac {\partial U(x_1,x_2) } {\partial X_1} - \lambda P_1=0 \\ \frac {\partial \Lambda} {\partial X_2} = \frac {\partial U(x_1,x_2) } {\partial X_2} - \lambda P_2=0 \\ \frac {\partial \Lambda} {\partial \lambda} = I - P_1 X_1 - P_2 X_2=0 \\ \end {cases} \]

可以解得：\(MRS_{12}=- \frac {P_1} {P_2}\)，证毕。

　　价格-消费曲线表示在消费者的偏好、收入以及其他商品价格不变的条件下，与某一种商品的不同价格水平相联系的消费者效用最大化的均衡点的轨迹。

　　需求曲线是描述商品的需求量和价格关系的曲线，为点 \((X_1 , P_1)\) 的移动轨迹。

理解补充：

商品\(X_1\)价格变动会导致预算约束线\(AB\)围绕\(A\)点发生旋转变动，与不同无差异曲线\(U\)的切点连成的曲线即为价格-消费曲线，表明商品\(X_1\)的价格变动与消费量的关系，由此可以推导出消费者对商品\(X_1\)的需求曲线。

　　收入-消费曲线是在消费者的偏好和商品的价格不变的条件下，与消费者的不同收入水平相联系的消费者效用最大化的均衡点的轨迹。

　　恩格尔曲线（Engel curve）表示消费者在每一收入水平对某商品的需求量。

理解补充：

消费者收入的变动会导致预算约束线\(AB\)发生平移变化，与不同无差异曲线\(U\)的切点连成的曲线即为收入-消费曲线，由此可以推导出消费者对商品\(X_1\)的恩格尔曲线，反映收入变动与商品\(X_1\)消费量的关系。

　　如果将恩格尔曲线中的商品\(X_1\)指定为食品，那么可以计算出恩格尔系数。

　　恩格尔系数：食品支出总额占个人消费支出总额的比重。

　　恩格尔系数含义（网页链接）：

　　消费者剩余是指消费者在购买一定数量的某种商品时愿意支付的最高总价格和实际支付的总价格之间的差额。

　　消费者剩余可以用消费者需求曲线以下、市场价格线之上的面积来表示（下图中的阴影部分面积）。

　　消费者剩余的数学表达：\(CS= \int_0^{Q_0} f(Q)dQ-P_0 Q_0\)

　　市场的消费者剩余可以用市场需求曲线以下，市场价格线以上的面积来表示。

　　一种商品价格变动会对消费者产生两方面的影响，一是使商品的相对价格发生变动，二是使消费者的收入相对于以前发生变动。

　　替代效应：由于一种商品价格变动而引起的商品的相对价格发生变动，从而导致消费者在保持效用不变的条件下对商品需求量的改变， 称为价格变动的替代效应（substitute effect）。

　　收入效应：由于一种商品价格变动而引起的消费者实际收入发生变动，从而导致消费者对商品需求量的改变，称为价格变动的收入效应（income effect）。

　　\(总效应=替代效应＋收入效应\)

　　其中，收入效应表示消费者的效用水平发生变化，替代效应则不改变消费者的效用水平。

　　对于正常品来说，替代效应与价格呈反方向的变动。收入效应也与价格呈反方向的变动，在它们的共同作用下，总效应必定与价格呈反方向的变动。正常品的需求曲线向右下方倾斜。

　　如果商品 \(X_1\) 降价，商品 \(X_2\) 价格不变，此时替代效应 \(\Delta X_1>0\)，收入效应 \(\Delta X_2>0\)，因此总效应 \(\Delta X = \Delta X_1 + \Delta X_2>0\)。

　　对于劣等品来说，替代效应与价格呈反方向的变动，收入效应与价格呈同方向的变动，而且，在大多数的场合，收入效应的作用小于替代效应的作用，所以，总效应与价格呈反方向的变动，相应的需求曲线向右下方倾斜。

　　如果商品 \(X_1\) 降价，商品 \(X_2\) 价格不变，此时替代效应 \(\Delta X_1>0\)，收入效应 \(\Delta X_2 |\Delta X_2|\)，因此总效应 \(\Delta X = \Delta X_1 + \Delta X_2>0\)。

　　19 世纪，英国统计学家罗伯特·吉芬发现一个现象， 1845 年爱尔兰发生灾荒，导致土豆价格上升，但居民对土豆的需求量却反而增加了，而这无法用传统的经济学理论进行解释，故此现象称为“吉芬难题”，并将需求量与价格同方向变动的物品称之为“吉芬品”。

　　吉芬商品不符合"需求定理"。

　　吉芬商品是一种特殊的劣等品。作为劣等品，吉芬品的替代效应与价格呈反方向的变动，收入效应则与价格呈同方向的变动。吉芬品的特殊性就在于：它的收入效应的作用很大，以至于超过了替代效应的作用，从而使得总效应与价格呈同方向的变动。这也就是吉芬品的需求曲线呈现出向右上方倾斜的特殊形状的原因。

　　如果商品 \(X_1\) 降价，商品 \(X_2\) 价格不变，此时替代效应 \(\Delta X_1>0\)，收入效应 \(\Delta X_20\)，\(U''(W)>0\)，他们的财富的期望效用大于财富的期望值效用。

理解补充：

风险爱好者的效用曲线不断上升，这表明随着风险的升高，他们仅需要增加一点风险补偿，就可以让其效用水平有较大幅度的上升。考虑到曲线的斜率不断变大，风险带来的效用会来越大。

　　风险中立者的效用函数是线性的， 用数学语言表示为：\(U'(W)>0\)，\(U''(W)=0\)，他们的财富的期望效用等于财富的期望值效用。

理解补充：

风险中立者的效用曲线为一条直线，这表明对风险是完全理性的，风险补偿的提高可以使得他们的效用按照线性增加。

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