两个任意的正弦函数当然是可以合成的，关键是如何写成一个较为合理且直观的形式。

为了规范化，这里用 \omega 来表示正弦函数的频率，用 \varphi 来表示正弦函数的初始相位。

假设第一个正弦函数为：

\[{A_1}\sin \left( {{\omega _1}t + {\varphi _1}} \right)\tag{1}\]

假设第二个正弦函数为：

\[{A_2}\sin \left( {{\omega _2}t + {\varphi _2}} \right)\tag{2}\]

假设 \[{\left( {{\omega _1} > {\omega _2}} \right)}\] .

可以看出来，这两个正弦函数是任意正弦函数。那么，两者的和为：

\[{A_1}\sin \left( {{\omega _1}t + {\varphi _1}} \right) + {A_2}\sin \left( {{\omega _2}t + {\varphi _2}} \right)\tag{3}\]

如果要直观看出正弦函数合成后的效果，需要将其写为更加紧凑的形式，而不是这样累加的形式。

所以关键是下一步，将两个正弦函数构造为下式：

\[ {A_1}\sin \left[ {\left( {\frac{{{\omega _1} + {\omega _2}}}{2}{\rm{ + }}\frac{{{\omega _1} - {\omega _2}}}{2}} \right)t + \frac{{{\varphi _1} + {\varphi _2}}}{2} + \frac{{{\varphi _1} - {\varphi _2}}}{2}} \right] \\+ {A_2}\sin \left[ {\left( {\frac{{{\omega _1} + {\omega _2}}}{2} - \frac{{{\omega _1} - {\omega _2}}}{2}} \right)t + \frac{{{\varphi _1} + {\varphi _2}}}{2} - \frac{{{\varphi _1} - {\varphi _2}}}{2}} \right]\tag{4}\]

构造的前提是保证前后不变，可以看出式 (3) 实际上就是式 (4) 的简化形式。

然后在式 (4) 的内部调整一下顺序：

\[ {A_1}\sin \left[ {\left( {\frac{{{\omega _1} + {\omega _2}}}{2}t + \frac{{{\varphi _1} + {\varphi _2}}}{2}} \right){\rm{ + }}\left( {\frac{{{\omega _1} - {\omega _2}}}{2}t + \frac{{{\varphi _1} - {\varphi _2}}}{2}} \right)} \right] \\+ {A_2}\sin \left[ {\left( {\frac{{{\omega _1} + {\omega _2}}}{2}t + \frac{{{\varphi _1} + {\varphi _2}}}{2}} \right) - \left( {\frac{{{\omega _1} - {\omega _2}}}{2}t + \frac{{{\varphi _1} - {\varphi _2}}}{2}} \right)} \right]\tag{5}\]

再采用和差化积公式，将两个正弦函数分别展开：

\[\begin{array}{l} {A_1}\sin \left( {\frac{{{\omega _1} + {\omega _2}}}{2}t + \frac{{{\varphi _1} + {\varphi _2}}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{{\omega _1} - {\omega _2}}}{2}t + \frac{{{\varphi _1} - {\varphi _2}}}{2}} \right) \\+ {A_1}\cos \left( {\frac{{{\omega _1} + {\omega _2}}}{2}t + \frac{{{\varphi _1} + {\varphi _2}}}{2}} \right)\sin \left( {\frac{{{\omega _1} - {\omega _2}}}{2}t + \frac{{{\varphi _1} - {\varphi _2}}}{2}} \right)\\ + {A_2}\sin \left( {\frac{{{\omega _1} + {\omega _2}}}{2}t + \frac{{{\varphi _1} + {\varphi _2}}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{{\omega _1} - {\omega _2}}}{2}t + \frac{{{\varphi _1} - {\varphi _2}}}{2}} \right) \\- {A_2}\cos \left( {\frac{{{\omega _1} + {\omega _2}}}{2}t + \frac{{{\varphi _1} + {\varphi _2}}}{2}} \right)\sin \left( {\frac{{{\omega _1} - {\omega _2}}}{2}t + \frac{{{\varphi _1} - {\varphi _2}}}{2}} \right) \end{array}\tag{6}\]

接着，合并同类项：

\[\begin{array}{l} \left( {{A_1} + {A_2}} \right)\sin \left( {\frac{{{\omega _1} + {\omega _2}}}{2}t + \frac{{{\varphi _1} + {\varphi _2}}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{{\omega _1} - {\omega _2}}}{2}t + \frac{{{\varphi _1} - {\varphi _2}}}{2}} \right)\\ + \left( {{A_1} - {A_2}} \right)\cos \left( {\frac{{{\omega _1} + {\omega _2}}}{2}t + \frac{{{\varphi _1} + {\varphi _2}}}{2}} \right)\sin \left( {\frac{{{\omega _1} - {\omega _2}}}{2}t + \frac{{{\varphi _1} - {\varphi _2}}}{2}} \right) \end{array}\tag{7}\]

然后，以 \[\sin \left( {\frac{{{\omega _1} + {\omega _2}}}{2}t + \frac{{{\varphi _1} + {\varphi _2}}}{2}} \right)\] 和 \[\cos \left( {\frac{{{\omega _1} + {\omega _2}}}{2}t + \frac{{{\varphi _1} + {\varphi _2}}}{2}} \right)\] 为基准，其他的均视为系数，合并式 (7) 得到：

\[ A\sin \left( {\frac{{{\omega _1} + {\omega _2}}}{2}t + \frac{{{\varphi _1} + {\varphi _2}}}{2} + \phi } \right)\tag{8}\]

即为两个任意正弦函数合成后的函数表达式。

对于式 (8) 中的 A 有：

\[\begin{array}{l} A = \sqrt {{{\left[ {\left( {{A_1} + {A_2}} \right)\cos \left( {\frac{{{\omega _1} - {\omega _2}}}{2}t + \frac{{{\varphi _1} - {\varphi _2}}}{2}} \right)} \right]}^2} + {{\left[ {\left( {{A_1} - {A_2}} \right)\sin \left( {\frac{{{\omega _1} - {\omega _2}}}{2}t + \frac{{{\varphi _1} - {\varphi _2}}}{2}} \right)} \right]}^2}} \\ = \sqrt {A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \left[ {\left( {{\omega _1} - {\omega _2}} \right)t + \left( {{\varphi _1} - {\varphi _2}} \right)} \right]} \end{array}\tag{9}\]

对于式 (8) 中的 \phi 有：

\[\tan \phi = \frac{{\left( {{A_1} - {A_2}} \right)\sin \left( {\frac{{{\omega _1} - {\omega _2}}}{2}t + \frac{{{\varphi _1} - {\varphi _2}}}{2}} \right)}}{{\left( {{A_1} + {A_2}} \right)\cos \left( {\frac{{{\omega _1} - {\omega _2}}}{2}t + \frac{{{\varphi _1} - {\varphi _2}}}{2}} \right)}} = \frac{{\left( {{A_1} - {A_2}} \right)}}{{\left( {{A_1} + {A_2}} \right)}}\tan \left( {\frac{{{\omega _1} - {\omega _2}}}{2}t + \frac{{{\varphi _1} - {\varphi _2}}}{2}} \right)\tag{10}\]

从式 (8) 可以看出，合成后的正弦函数将包含 \[{\frac{{{\omega _1} + {\omega _2}}}{2}}\] 的振动频率，是两个正弦函数频率的均值。由式 (9) 和式 (10) 可知，合成后的正弦函数被 \[\frac{{\left( {{\omega _1} - {\omega _2}} \right)}}{2}\] 这个低频调制。

特殊地，

如果，两个正弦函数的幅值相等，且频率相近但不等时，会出现奇妙的“拍振”现象。

下图中，红色和绿色为两个幅值相等的正弦函数，蓝色为这两个正弦函数合成后的结果。如果保证两个正弦函数的幅值不变，仅增大其中一个的频率（图中显示的是不断增大绿色线条所示正弦函数的频率），那么会出现“拍振”，且拍振频率为 \[\frac{{\left( {{\omega _1} - {\omega _2}} \right)}}{2}\] 。