1 同济大学高等数学定义

2 国际上的定义

3 黑塞矩阵

我们从几何上看到，在有的曲线弧上，如果任取两点，则联结这两点间的弦总位于这两点间的弧段的上方，如图3-8（a）；而有的曲线弧，则正好相反，如图 3-8（b）。曲线的这种性质就是曲线的凹凸性。

因此曲线的凹凸性可以用联结曲线弧上任意两点的弦的中点与曲线弧上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述，下面给出曲线凹凸性的定义：

国际上的定义刚好与国内的凹凸函数的定义相反。

二阶导数大于0，则为凸（convex）函数，有极小值；二阶导数小于0，则为凹（cancave）函数，有极大值。

（数学分析和高等数学对于凸凹函数的定义是反的）

黑塞矩阵（Hessian matrix）是一个二阶偏导数的方阵。它描述了多元函数的二阶变化率，用于衡量函数在某一点的曲率和局部形状。当函数的黑塞矩阵的所有特征值大于等于零时，函数是凸函数。当函数的黑塞矩阵的所有特征值小于等于零时，函数是凹函数。

黑塞矩阵在优化问题中起着重要的作用，特别是在求解最优化问题时。它提供了关于目标函数局部二阶变化的信息，包括函数的梯度和二阶导数。通过黑塞矩阵，我们可以判断函数的局部最小值、最大值或鞍点，并可以确定迭代算法的收敛性和速度。黑塞矩阵还用于确定牛顿法、拟牛顿法等优化算法中的搜索方向和步长。

在数学和优化领域，黑塞矩阵是一个重要的工具，可用于求解非线性方程、最小二乘问题、非线性规划等优化问题，并且在机器学习算法（如逻辑回归、神经网络）的训练过程中也得到广泛应用。