“浮点”指一组对实数进行编码的数据类型，包括分数和小数。浮点数据类型允许小数点后有不同位数，而定点数据类型在小数点前后则保留特定位数。因此与定点数据类型相比，浮点数据类型可以表示更广范围的数值。

由于计算机在数字表示和存储方面的内存有限，只能表示有限精度的浮点数有限集合。这种有限精度无法精确表示某些数值，因而会限制需要精确值或高精度的浮点计算的准确度。尽管浮点数有其局限性，但其计算速度快且精度和范围足以求解现实世界的很多问题，因此得到广泛使用。

MATLAB® 提供遵循 IEEE® 标准 754 的双精度 (double) 和单精度 (single) 浮点数数据类型。默认情况下，MATLAB 以双精度表示浮点数。双精度支持以更高的精度表示数值，但比单精度需要更多内存。为了节省内存，可以使用 single 函数将数值转换为单精度。

如果数值范围约在 –3.4 × 1038 和 3.4 × 1038 之间，您既可以用单精度，也可以用双精度来存储。如果数值超出该范围，请用双精度来存储。

由于 MATLAB 的默认数值类型是 double 类型，因此可以用简单的赋值语句创建双精度浮点数。

您可以使用 double 函数将数值数据、字符或字符串以及逻辑数据转换为双精度值。例如，将有符号整数转换为双精度浮点数。

要创建单精度数值，请使用 single 函数。

还可以使用 single 函数将数值数据、字符或字符串以及逻辑数据转换为单精度。例如，将有符号整数转换为单精度浮点数。

默认情况下，MATLAB 根据 IEEE 格式构造其 double 和 single 浮点数据类型，并遵循就近舍入，偶数优先舍入模式。

浮点数 x 的形式如下：

x=−1s⋅(1+f)⋅2e

其中：

s 确定符号。

f 是满足 0 ≤f< 1 的小数（或尾数）。

e 是指数。

s、f 和 e 分别由内存中有限数量的位确定，其中 f 和 e 取决于数据类型的精度。

存储 double 数需要 64 位，如下表所示。

存储 single 数需要 32 位，如下表所示。

双精度和单精度数据类型各有其可表示的最大值和最小值。超出可表示范围的数值被视为正无穷或负无穷。但是，由于连续浮点数之间存在间隔并且有些数值可能存在舍入误差，可表示范围内的某些数值无法精确存储。

分别使用 realmax 和 realmin 函数，找出可以用 double 数据类型表示的最大和最小正值。

realmax 和 realmin 返回规范化的 IEEE 值。将 realmax 和 realmin 乘以 -1 可求出最大和最小负值。大于 realmax 或小于 –realmax 的数值分别被视为正无穷值或负无穷值。

通过使用参量 "single" 调用 realmax 和 realmin 函数，求出可以用 single 数据类型表示的最大和最小正值。

将 realmax("single") 和 realmin("single") 乘以 –1 可求出最大和最小负值。大于 realmax("single") 或小于 –realmax("single") 的数值分别被视为正无穷值或负无穷值。

并非所有整数都可以用浮点数据类型表示。最大连续整数 x 是能精确表示的最大整数，所有小于或等于 x 的整数都能精确表示，但 x + 1 无法以浮点格式表示。flintmax 函数返回最大连续整数。例如，使用 flintmax 函数求出双精度浮点格式的最大连续整数，即 253。

求出单精度浮点格式的最大连续整数，即 224。

当您将整数数据类型转换为浮点数据类型时，无法用浮点格式精确表示的整数会损失精度。flintmax 是浮点数，它小于使用相同位数的整数数据类型所能表示的最大整数。例如，双精度的 flintmax 是 253，而 int64 类型的最大值是 264 - 1。因此，将大于 253 的整数转换为双精度会导致精度损失。

浮点数据的精度受下面几个因素的影响：

计算机硬件的限制 - 例如，内存不足的硬件会截断浮点计算的结果。

每个浮点数与下一个更大的浮点数之间的间隔 - 这些间隔存在于任何计算机上，并会限制精度。

您可以使用 eps 函数来确定连续浮点数之间的间隔大小。例如，计算 5 和下一个更大的双精度数之间的间距。

您无法以双精度格式表示 5 和 5 + eps(5) 之间的数值。如果双精度计算返回答案 5，则该结果精确到 eps(5) 范围内。此精度半径通常称为机器精度。

各浮点数之间的间隔并不相等。例如，1e10 和下一个更大的双精度数之间的间隔大于 5 和下一个更大的双精度数之间的间隔。

同样，求 5 和下一个更大的单精度数之间的间距。

单精度数之间的间隔大于双精度数之间的间隔，因为单精度数的数量较少。因此，单精度计算的结果不如双精度计算的结果精确。

当您将双精度数转换为单精度数时，可以使用 eps 函数来确定该数值舍入量的上界。例如，当您将双精度数 3.14 转换为单精度数时，该数值的最大舍入量为 eps(single(3.14))。

flintmax 函数以浮点格式返回最大连续整数。高于此值时，连续浮点整数的间隔大于 1。

使用 eps 求出 flintmax 和下一个浮点数之间的间隔：

由于 eps(x) 为 2，因此可以精确表示的下一个更大的浮点数为 x + 2。

如果将 1 与 x 相加，结果将舍入到 x。

您可以在浮点数的算术运算中使用一系列数据类型，结果的数据类型取决于输入类型。但是，当您使用不同数据类型执行运算时，由于逼近或中间转换，某些计算可能不精确。

您可以使用 double 和以下的任何其他数据类型来执行基本算术运算。如果一个或多个操作数为整数标量或数组，则 double 操作数必须为标量。运算结果默认为 double 类型，除非另有说明。

single - 结果为 single 类型。

double

int8、int16、int32、int64 - 结果的数据类型与整数操作数的数据类型相同。

uint8、uint16、uint32、uint64 - 结果的数据类型与整数操作数的数据类型相同。

char

logical

您可以使用 single 和以下的任何其他数据类型来执行基本算术运算。结果为 single 类型。

single

double

char

logical

MATLAB 中几乎所有运算都是在符合 IEEE 标准 754 的双精度算术中执行的。由于计算机以有限精度表示数值，因此一些计算会产生在数学上不直观的结果。使用浮点数进行计算时可能出现的一些常见问题是舍入误差、抵消、淹没和中间转换。意外的结果并非 MATLAB 中的 Bug，任何使用浮点数的软件都会出现这种情况。如果需要数值的精确有理表示形式，请考虑使用 Symbolic Math Toolbox™。

浮点数的有限精度表示可能导致舍入误差。例如，数值 4/3 不能精确表示为二进制分数。因此，下面的计算会返回数量 eps(1)，而不是 0。

同样，由于 pi 不是 π 的精确表示，sin(pi) 也不精确为零。

当对浮点数执行许多运算时，误差会不断累积和复合，舍入误差最为显著。最佳做法是尽可能减少运算次数。

根据 eps 的测量，当您从数量级大致相同的一个数中减去另一个数时，可能发生抵消。例如，eps(2^53) 为 2，因此数值 2^53 + 1 和 2^53 具有相同的浮点表示。

请尽可能尝试用一种等效形式重写计算，以避免发生抵消。

当您对数量级相差特别大的浮点数执行运算时，可能发生淹没。例如，下面的计算显示精度损失会使加法运算失去意义。

当您使用不同数据类型执行算术时，中间计算和转换可能会产生意外的结果。例如，虽然 x 和 y 均为 0.2，但将它们相减会产生非零结果。原因是在执行减法之前 y 先转换为 double 类型。然后此减法的结果再转换为 single 类型的 z。

浮点算术中的常见问题（如上述问题）在应用于线性代数问题时会复合，因为相关计算通常由多个步骤组成。例如，在求解线性方程组 Ax = b 时，MATLAB 警告结果可能不准确，因为操作数矩阵 A 为病态矩阵。

[1] Moler, Cleve. Numerical Computing with MATLAB. Natick, MA: The MathWorks, Inc., 2004.