目录

1. 二进制小数

1.1 十进制小数的表示方法

1.2 二进制小数的表示方法

2. IEEE浮点表示

2.1 IEEE浮点标准

2.2 单精度和双精度浮点数的封装形式

2.3 浮点数的数值分类

2.3.1 规格化的值 (Normalized Values)

2.3.2 非规格化的值 (Denormalized Values)

2.3.3 特殊值 (Special Values)

3. 数字示例

4. 舍入

5. 浮点运算

6. C语言中的浮点数

理解浮点数的第一步是考虑含有小数值的十进制数字

先来看一下十进制数字的表示法：

其中每个十进制数  的取值范围是0~9。这个表达描述的数值  的定义如下：

数字权的定义与十进制小数点符号( ‘.’ ) 相关，这意味着小数点左边的数字的权是10的正幂，得到整数值，而小数点右边的数字的权是10的负幂，得到小数值。例如十进制数12. 34表示数字

类比十进制数，二进制表示小数可以用如下表示法表示，

以图片表示为： 

 其中  的取值范围是0和1。这个表达描述的数值  的定义如下：

符号 ‘ . ’  现在变为了二进制的点，点左边的位的权是2的正幂，点右边的位的权是2的负幂。例如，二进制数101.11表示数字

上一节提到的定点表示法并不能很有效地表示非常大的数字。IEEE(电气和电子工程师协会)浮点标准用如下的形式来表示一个数：

在这个式子中设计三个变量，s, M以及E

例如： 

5.0 化为二进制小数，由于 5.0 为正数，因此 s = 0，M = 1.01，E = 2

这种标准将浮点数封装成一种似乎很难理解的形式来存储，但其实是相当优雅的。

在C语言中，浮点数分为单精度浮点数 float 和双精度浮点数 double，其中float在内存中占4个字节，32个比特位；double在内存中占8个字节，64个比特位。 

不管是 float 还是 double ，它们都被分为三个字段，分别用来表示符号位s，阶码字段exp和编码尾数frac。这三个字段与上述的符号s，尾数M，阶码E一一对应，但并非将s,M,E直接存入内存，而是根据浮点数的不同数值类型按照不同的规则进行编码。

根据阶码的不同，浮点数的数值可以分为三类：

exp的值决定了这个数属于上面类型中的哪一种，以float类型为例：

当阶码域不全为0并且不全为1时，表示该数值为规格化的值

当阶码字段不全为0时，表示该数值为非规格化的值。这是一种最普遍的情况，大多数浮点数都属于这类。比如上一小节的5.0

对于规格化的值，在得到s, E, M之后还需要进行一些处理才能放进内存：

✨规则1：

前面已经提到，E是阶码并且可以表示负值，存放在exp字段，但是E在标准中为无符号数，这说明它不能表示负数且可表示的范围为0~255。那么对于E为负值的情况如何处理呢？

这里引入偏置 (Bias) 的概念。

IEEE 754规定，存入内存时E的真实值必须再加上一个中间数，对于8位的E，这个中间数是127；对于11位的E，这个中间数是1023。这里的127和1023就是Bias。也就是说，阶码的值是 E= exp - Bias

例如：2^10的E是10，所以保存成32位浮点数时，必须保存成10+127=137，即10001001。此时内存中的exp中存的是10001001。

✨规则2

同样的，M存放在小数字段 f 中，我们知道，当一个小数化为二进制小数后所得到的M总是一个介于1~2之间的值，形式为1. xxxxx

因此在存数据时，考虑省略小数点前面的1（取数据的时候可以直接在前面添上），可以节省一位的存储空间，能让小数点后的数据多保存一位，提高数据的精度。

例如，M=1.01101，存到 f 中去的数据为01101，M = 1 + f

🎁到这里我们可以解决 5.0 这样一个规格化的值的存放问题了：

我们知道，对于5.0来说，s = 0，M = 1.01，E = 2，

根据以上规则，在内存中，符号位字段s = 0，阶码字段exp = E + 127 = 129 = 10000001，编码尾数f = 01000000000000000000000（不够23位要在后面补0）

结合来看：

0 10000001 01000000000000000000000，化为十六进制为40 a0 00 00

在小端机器上的结果为：

当阶码域为全0时, 所表示的数是非规格化的值

 在这种情况下，规则又有所不同：

✨规则1

当exp为全0时，此时的E = 1- Bias，也就是说1-127（或者1-1023）即为真实值

补充：使阶码值为 1-Bias 仍而不是简单的 -Bias 似乎是违反直觉的。在后面我们会知道，这种方式提供了一种从非规格化值平滑转换到规格化值的方法

✨规则2

有效数字M不再加上第一位的1，而是还原为0.xxxxxx的小数，即M = f ，也就是小数字段的值, 不包含隐含的开头的1

实际上，如M = 1.01101，在exp = 00000000时，存进去的是101101而不是01101

非规格化数有两个用途：

当阶码域为全1时, 所表示的数是特殊值

特殊值可分为两种： 

1. 当小数域全为0 时，得到的值表示无穷，当 s = 0 时，是+∞, 或者当 s = 1时，是 -∞

2.当小数域为非零时, 结果值被称为 “NaN”(Not a Number)。一些运算的结果不能是实数或无穷, 就会返回这样的NaN值

为了更加直观地理解，我们用一个8位浮点数的例子，假定符号位 s 的长度为1，阶码字段的长度为4，小数字段的长度为3：

🎈对于非规格数：

 🎈对于规格数

可以看到，从最大非规格数0 0000 111到最小规格数0 0001 000这样的过渡是很自然的，体现出了上述IEEE标准的逻辑性与和谐的美感

因为表示方法限制了浮点数的范围和精度, 所以浮点运算只能近似地表示实数运算

我们企图找到一个与值   最相近的值匹配值  来作为储存的值

例如：

如果由于表示方法的限制，1.5这样一个值无法完全放在内存中，需要舍掉小数点后的值，那么舍入结果是1还是2呢❔

IEEE定义了四种舍入方式：

其中，向偶数舍入(round - to - even)又被称为向最接近的值舍入(round - to - nearest)，是默认的方式，试图找到一个最接近的匹配值

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向上和向下舍入很好理解，一个介于1~2之间的数如 1.5 向上舍入是2，向下舍入是1

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向零舍入是指在在数轴上的数向 0 的方向进行舍入，比如 1.50 向零舍入会找到 1 和 2 之间更靠近0 的数 1 ，-1.50 向零舍入会找到 -1 和 -2 之间更靠近 0 的数 -1

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向偶数舍入，指当一个数是两个可能结果的中间数时，它将数字向上或者向下舍入，使得结果的最低有效数字是偶数

比如1.50可以向1舍入，也可以向2舍入，并且正好是1和2的中间值，这时会默认向2(偶数)舍入；比如2.50可以向2舍入，也可以向3舍入，并且正好是2和3的中间值，这时同样会向2(偶数)舍入。

值得注意的是：

向偶数舍入只针对那些“中间值”。当值为1.49或1.51时，依旧舍入为 1 和 2

为什么要使用向偶数舍入呢？

使用其他三种舍入方法，在一组数据中很容易引入平均值的统计偏差 ，当1.50 1.60 1.70这样一组数据都使用向上舍入，结果是2 2 2，平均值会偏大

向偶数舍入在大多数现实情况中避免了这种统计偏差。在50%的时间里，它将向上舍入，而在50%的时间里，它将向下舍入

 对二进制的浮点数舍入同样遵循向偶数舍入的原则，并将 0 视为偶数，1 视为奇数

例如：

10.11100 ，当舍入需要精确到小数点后两位时， 后三位100代表 ，正好是中间值，因此向偶数舍入为11.00

 考虑下面几个式子：

(1)(2)中，3.14 + 1e10对结果进行了舍入，值3.14会丢失，因此对于浮点数的加法不具有结合性

(3)(4)中，由于计算结果可能溢出或舍入，因此浮点数的乘法也不具有结合性 

(5)(6)中，在单精度浮点数时结果不同，说明浮点数乘法不具有分配性

所有的C语言版本提供了两种不同的浮点数据类型: float 和 double

当int ，float，double不同数据类型之间进行强制类型转换时，得到的结果可能会超出我们的预期，程序改变数值和位模式的原则如下( 假设int是32位的) :