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多元函数的Taylor公式与极值
多变量函数的微分学
张瑞
中国科学技术大学数学科学学院
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多元函数的Taylor公式与极值
设$D\subset\mathbb{R}^2$，$M_0(x_0,y_0)$，$M(x_0+h,y_0+k)$为$D$中两点。若连接$M_0$, $M$的线段在$D$内，则 \[\phi(t)=f(x_0+th,y_0+tk), \quad t\in[0,1] \]有定义。 若$f(x,y)\in C^{1}(D)$， 由复合函数的求导法则，有 \[\phi'(t)=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0+th,y_0+tk)h+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0+th,y_0+tk)k \]则$\phi(t)\in C^{1}([0,1])$。 类似地，若$f(x,y)\in C^{n+1}(D)$，则$\phi(t)\in C^{n+1}([0,1])$。由一元函数的Taylor公式，有 \[\phi(t)=\sum_{m=0}^n\frac{\phi^{(m)}(0)}{m!}t^m +\frac{\phi^{(n+1)}(\theta t)}{(n+1)!} t^{n+1} , \theta\in(0,1) \]由 \[\phi'(t)=f'_x(x_0+th,y_0+tk)h +f'_y(x_0+th,y_0+tk)k \]因此 \[\phi'(0)=\left.\left(h\frac{\partial f}{\partial x}+k\frac{\partial f}{\partial y}\right)\right|_{M_0} \]由 \[\begin{aligned} \phi''(t)=&\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0+th,y_0+tk)h +\frac{\partial f}{\partial y}(x_0+th,y_0+tk)k\right)' \\ =& h(f''_{xx}h+f''_{xy}k)|_{(x_0+th,y_0+tk)} + k(f''_{yx}h+f''_{yy}k)|_{(x_0+th,y_0+tk)} \\ =&(h^2f''_{xx}h+2hkf''_{xy}+k^2f''_{yy})|_{(x_0+th,y_0+tk)} \\ \end{aligned} \]因此 \[\phi''(0)=\left.\left(h^2\frac{\partial ^2f}{\partial x^2}+2hk\frac{\partial ^2f}{\partial x\partial y}+k^2\frac{\partial ^2f}{\partial y^2}\right)\right|_{M_0} \]利用归纳法，可以得到 \[\begin{aligned} \phi''(0)=&\left.\left(h^2\frac{\partial ^2f}{\partial x^2}+2hk\frac{\partial ^2f}{\partial x\partial y}+k^2\frac{\partial ^2f}{\partial y^2}\right)\right|_{M_0} \\ \phi^{(m)}(0)=&\left.\sum_{l=0}^mC_m^lh^lk^{m-l}\frac{\partial ^mf}{\partial x^l\partial y^{m-l}}\right|_{M_0} \end{aligned} \]引入算符 \[ \mathcal{D}=h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y} \]则有 \[\mathcal{D}^m=\left(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}\right)^m =\sum_{l=0}^mC_m^lh^lk^{m-l}\frac{\partial ^m}{\partial x^l\partial y^{m-l}} \]这样， \[\phi^{(m)}(0)=\left(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}\right)^mf \bigg|_{(x_0,y_0)} \]或者写为$\phi^{(m)}(0)=\left(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}\right)^m f{(x_0,y_0)}$ 二元函数的Taylor公式定义 1. (凸区域) 平面区域$D$称为凸区域，如果$D$中任意两点的连线都包含在$D$中。 Taylor公式定理 1. (Taylor公式) 设$D\subset\mathbb{R}^2$为凸区域，$f\in C^{n+1}(D)$。若$(x_0,y_0)$，$(x_0+h,y_0+k)\in D$，则存在$\theta\in(0,1)$，满足 \[f(x_0+h,y_0+k)=\sum_{m=0}^n\frac1{m!}\left(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}\right)^mf(x_0,y_0)+R_n \]其中 \[R_n=\frac{1}{(n+1)!}\left(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}\right)^{n+1}f(x_0+\theta h,y_0+\theta k) \]称为Lagrange余项。 特别地，在$(0,0)$处展开的Taylor公式也叫MacLaurin公式。 带Peano余项的Taylor公式定理 2. 设$D\subset\mathbb{R}^2$为凸区域，$f\in C^{n}(D)$。若$(x_0,y_0)$，$(x_0+h,y_0+k)\in D$，则有 \[f(x_0+h,y_0+k)=\sum_{m=0}^n\frac1{m!}\left(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}\right)^mf(x_0,y_0)+R_n \]其中$R_n=o(\rho^n), \rho=\sqrt{h^2+k^2}\to 0$。称为Peano余项公式。 一阶展开公式 \[f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)h+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)k+R_1 \]二阶展开公式 \[\begin{aligned} f(x_0+h,y_0+k) =&f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)h+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)k \\ &+\frac12(Ah^2+2Bhk+Ck^2)+R_2 \end{aligned} \]其中 \[A=\frac{\partial ^2f}{\partial x^2}(x_0,y_0),B=\frac{\partial ^2f}{\partial x\partial y}(x_0,y_0),C=\frac{\partial ^2f}{\partial y^2}(x_0,y_0) \]定义 2. 称矩阵 \[Hf(x_0,y_0)=\begin{pmatrix} \frac{\partial ^2f}{\partial x^2}(x_0,y_0) & \frac{\partial ^2f}{\partial x\partial y}(x_0,y_0) \\ \frac{\partial ^2f}{\partial x\partial y}(x_0,y_0) & \frac{\partial ^2f}{\partial y^2}(x_0,y_0) \end{pmatrix} \]为二元函数$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$处的Hesse矩阵。
显然，$Ah^2+2Bhk+Ck^2$为对称矩阵$Hf(x_0,y_0)$确定的二次型。 例 1. (例6.5.1) $f(x,y)=e^x\cos y$的MacLaurin公式展开到二次项 例 2. $\frac{\cos x}{\cos y}$的MacLaurin公式展开到二次项 例 3. $\arctan\frac{1+x+y}{1-x+y}$的MacLaurin公式展开到二次项 例 4. $f(x,y)=x^y$在$(1,1)$处展开到二次项 例2 例3 多元函数的极值一元时候，利用一阶导数与二阶导数，可以研究函数的极值。多元函数的时候是类似的。 定义 3. $f(x,y)$为区域$D\subset\mathbb{R}^2$上的二元函数，$(x_0,y_0)\in D$。若存在$(x_0,y_0)$的邻域$U$，使得 \[f(x,y)\geq f(x_0,y_0), \forall (x,y)\in U \]则称$(x_0,y_0)$为函数$f$的一个极小值点，$f(x_0,y_0)$称为$f$的一个极小值。类似可以定义极大值和极大值点。极小值点和极大值点统称为极值点。 定理 3. 若可微函数$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$取到极值，则 \[\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=0 , \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=0 \]定义 4. 两个偏导数都为$0$的点，称为驻点。 定理表明：极值点一定是驻点。 但驻点不一定是极值点。如$f(x,y)=xy$在$(0,0)$处。 驻点什么时候是极值点呢？ 类似1维情形，需要考察2阶偏导数的状态。 定理 4. $f(x,y)$为区域$D$上的$C^2$函数，$(x_0,y_0)\in D$为$f(x,y)$的驻点。记$\Delta=AC-B^2$，其中 \[%A=\frac{\partial ^2f}{\partial x^2}(x_0,y_0),B=\frac{\partial ^2f}{\partial x\partial y}(x_0,y_0),C=\frac{\partial ^2f}{\partial y^2}(x_0,y_0) A=f''_{xx}(x_0,y_0), B=f''_{xy}(x_0,y_0), C=f''_{yy}(x_0,y_0) \]则： (1) $\Delta>0$时， 当$A>0$，$(x_0,y_0)$为严格极小值点； 当$A0$时，$\phi(\alpha)>0, \forall\alpha\in[0,2\pi]$ $A0$时，$\phi(\alpha)0$时，有$\phi(\alpha)>0, \forall\alpha\in[0,2\pi]$。由闭区间上连续函数的特性知，存在$m>0$成立 \[\phi(\alpha)\geq m> 0, \forall\alpha\in[0,2\pi] \]这样，$\rho0$, $z>0$, $a>0$下，$u=xy^2z^3$的极值 例 13. (例6.5.9) 求在约束条件$x_1+x_2+\cdots+x_n=a$, $x_i>0$下，$x_1x_2\cdots x_n$的极值 例 14. 求在约束条件$\frac{x_1}{a_1}+\frac{x_2}{a_2}+\cdots+\frac{x_n}{a_n}=1, (a_i>0)$下， $x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2$的极值 例 15. 求在约束条件$x^2+\frac{y^2}4=1$下，$x^2+y^2$的极值 例 16. 求 $y=x^2$与$x-y-2=0$间的最短距离 例11 目录 谢谢例 17. 本节读完 例 18. 考察函数 \[u=x^3-4x^2+2xy-y^2 , (x,y)\in[-5,5]\times[-1,1] \]的极值和最值。 例 19. 确定函数$u=x^2+y^2-12x+16y$，在$x^2+y^2\leq 25$上的上确界和下确界。 例 20. 证明不等式 \[\displaystyle \frac{x^n+y^n}2\geq\left(\frac{x+y}2\right)^n, n\geq 1, x\geq 0, y\geq 0 \]17. |
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