泰勒公式(泰勒展开式)通俗+本质详解 |
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比较通俗地讲解一下泰勒公式是什么。 泰勒公式,也称泰勒展开式。是用一个函数在某点的信息,描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下,泰勒公式可以利用这些导数值来做系数,构建一个多项式近似函数,求得在这一点的邻域中的值 所以泰勒公式是做什么用的? 简单来讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数(即尽量使多项式函数图像拟合给定的函数图像),注意,逼近的时候一定是从函数图像上的某个点展开。如果一个非常复杂函数,想求其某点的值,直接求无法实现,这时候可以使用泰勒公式去近似的求该值,这是泰勒公式的应用之一。泰勒公式在机器学习中主要应用于梯度迭代。 *********************************************************************************************************************************** *********************************************************************************************************************************** 1. 问题的提出多项式 *********************************************************************************************************************************** *********************************************************************************************************************************** 2. 近似计算举例初等数学已经了解到一些函数如: ①. 一次(线性)逼近 利用微分近似计算公式 f(x) 线性逼近优点:形式简单,计算方便;缺点:离原点O越远,近似度越差。 ②. 二次逼近 二次多项式
所以 二次逼近要比线性逼近好得多,但局限于 [ ③. 八次逼近 八次多项式 .... .... .... 所以
由上述3次不同程度的函数逼近可以看出:对于精确度要求较高且需要估计误差的时候,必须用高次多项式来近似表达函数,同时给出误差公式 。 以上就是利用多项式函数去逼近给定函数的一个过程。 ***************************************************************************************************************************************** ***************************************************************************************************************************************** 3. 泰勒公式的推导由此引出一个问题:给定一个函数
从几何上看,
使它们在 1. 首先要求两曲线在 2. 如果要靠得更近,还要求两曲线在 3. 如果还要靠得更近,还要求曲线在 综上所述,所要找的多项式应满足下列条件:
解释一下上面的转换时如何做的,以上面第三行的二阶导数为例: 第一个箭头的转换:将 第二个箭头的转换:所以 多项式函数
**************************************************************************************************************************************** **************************************************************************************************************************************** 4. 泰勒公式的定义所以我们就得到了泰勒公式的定义: 如果函数
其中余项 (即误差) **************************************************************************************************************************************** **************************************************************************************************************************************** 5. 扩展 —— 麦克劳林公式是泰勒公式的一种特殊情况:即当 几个常见的初等函数的带有佩亚诺余项的麦克劳林公式: 佩亚诺余项为
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