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这篇博客要做的是对sift的第二个步骤进行介绍和总结。然后对opencv中的源码进行解释，因为对这一部分的理解主要是根据Opencv中的源码反推的，感谢开源的作者们！

Ok言归正传！

Sift的第二个步骤主要是在图像中找到那些尺度不变性的点，这里叫做特征点。这些特征点是由DOG金字塔中的图像通过一系列的筛选规则得到的，所以这一步骤就是为了介绍这些筛选规则，以及用这些筛选规则怎么选出代表。

首先在前面介绍一些数学的知识吧，这些知识是经过推导得到的一些结论，所以记住它们（微笑脸）。

1.有限差分法求导（这里没有推导，也不太严谨，不用怕）

这个知识主要是介绍对于图像中函数的求导法则，介绍的是二元函数的求导。当然在尺度空间中，像素值f是坐标（x，y）和尺度σ的三元函数，它的求导法则可以类比。看图1和公式（1-5）这里的求导其实可以理解成，每一个像素值对哪一个方向求导，则与其他方向上的无关，就是把其他方向看成一个常数来理解。在同一层的图像中，与尺度的方向无关，所以把尺度看成一个常数。

图1

推广到三元函数，就是增加σ轴向的求导如图2，这里把y方向上的看成无关，来求导尺度轴和x方向的关系。

图2

以此类推y和σ方向上的关系：

图3

2.三阶矩阵求逆的公式

该矩阵存在逆矩阵，则它的行列式不等0，即：

所以

至此所要用到的一部分数学知识就讲到这里。接下来开始讲选举条例！

1.第0轮推举（阈值检测）

由于我们不能保证图片就是完全没有噪声的，所以在推选之前我们要排除一些对比度比较低的点，这些点很不稳定，容易受到干扰，本着宁缺毋滥的原则，先把不稳定因子排除。这个阈值一般是自己设定的，在opencv中设定它为：0.5*T/S,这里的T lowe 定义它为0.04，s是该点所在的层。拿到这个入场券的同学，进入下一轮选举

2.第一轮选举（极值检测）

在上一篇博客里讲到了，某某某证明了，高斯差分金字塔里的极值点比一般的（角点，Hessian，梯度函数）这些方法得到的点性质稳定。所以很自然的就要用到极值点来做候选人。在sift算法里面极值点的检测方法是（图5）：

图5

对图像中的每一个点进行遍历，判断每一个点是否是极值，判断的标准是，把这个点与相邻的层，上下层9+9=18个点和同一层中8个点，共18+8=26个点进行比较，看这个点是否是最大值，还是最小值，若是，则保留下来，当做候选人。

3.第二轮选举（极值点精确定位）

在sift算法中，把尺度看成连续的，而在前面的极值检测中，只是把它当成离散点来计算，于是极值点的检测就会出现图6的情况，这怎么能符合Lowe同学严谨的风格呢？

图6

所以在这一轮的选举中，我们的目标就是找到精确的极值点（成仙之前当然要经过考验）其实这里的精确点的位置，是一个亚像素级别的概念，比如一个数的个位十位百位都确定了，要更加精细的去找这个数的小数点后的那个数据，就用插值来计算。

这里又是一系列的数学公式(打公式好麻烦呀！哭！)数学是根本呀！大一高数学不好，本科兵败如山倒！

言归正传！这里我们需要高数和线性代数的一些知识。高数中提过，函数f（x）在x0处可以进行泰勒展开。于是我们也在这个检测到的极值点处处，对它进行泰勒级数展开（这里只展开到二阶项，高次项砍掉），以此来拟合这个三维二次函数。于是得到

把上面的式子写成矢量的形式：

这真是个伟大的公式！，好了我们拟合出来了该点附近的函数了，表示拟合之后连续空间下面的插值点坐标，设则表示：相对于插值中心的偏移量，这下公式（13）可以用偏移量表示：

（14）

该咋求极值呢？当然是求导啦！导数为0的那个点（排除驻点的情况，非要考虑驻点的话，不好意思，我也不会，微笑脸）于是得到下面的求导式子：

(15)

让导数等于0，就可以得到极值点下的相对于插值中心的偏移量：

（16）

把式(16)代入式（14）可以得到该极值点下的极值为：

(17)

Ok，其实到这里，已经把精确的极值点找到了，但是真的是这样的吗？答案当然不是。上述的知识只是告诉我们找到偏移量的一个大的方向，真正的细节并没有说明白！

这里该注意几个问题：