有些复杂的极限题，里面会涵盖着各种各样的函数，这些群魔乱舞的函数加大了我们计算极限的难度，此时想：如果可以将这些函数统一成一样的形式该多好?此时，就有我们的泰勒公式了。

指数函数，三角函数，反三角函数，对数函数等函数，同时若干个在极限中出现时，使用泰勒公式将它们一致化，从而容易计算。我和另一位学长做的笔记例题如下： 本题利用泰勒公式，将多种类型的函数转化为统一的多项式函数，原极限进而转变为有理函数的极限，而这种函数极限是非常容易求的。这就是泰勒公式求极限的核心。 另外，对于泰勒展开而言，展开到几阶(精度为多少)也是非常关键的。本题的技巧总结提供了一个方法，更加详细的见下面内容。

泰勒展开有两大令人头疼的：1.这个函数的展开公式是啥？2.展开到第几项（精度为多少）？ 针对第一点，直接背就行了，背不会可以自己求导推几遍。还记不住的可以看别人总结的记忆技巧，如下图是我和另一位学长做的知识点笔记，下图左边是一些常见的泰勒公式和一些记忆技巧： 同时，右边强调了精度的重要性，如果不了解精度盲目展开的话，非常容易出错，上面导图中即有错例。所以我们接下来看最关键和最有难度第二点：精度如何确定？

极限 lim ⁡ x → x 0 A B \lim_{x \rightarrow x_{0}}{\frac{A}{B}} limx→x0​​BA​ （其中 A ， B A，B A，B表示一个式子），首先确定谁更容易确定精度，如果 B B B更容易确定精度，则 A A A暂时不变，先判断 B B B的精度，再根据B的精度来确定 A A A的精度。 比如 B B B直接为 a x m ax^{m} axm 或可以通过等价转变为 a x m ax^{m} axm，那么直接可以确定B的精度为 m m m，进而确定A的精度为 m m m。 例： lim ⁡ x → x 0 A s i n x 2 l n ( 1 + x ) = lim ⁡ x → x 0 A x 3 \lim_{x \rightarrow x_{0}}{\frac{A}{sinx^{2}ln(1+x)}}=\lim_{x \rightarrow x_{0}}{\frac{A}{x^{3}}} limx→x0​​sinx2ln(1+x)A​=limx→x0​​x3A​ ，所以进而确定 A A A的精度为3，需要完全展开到 x 3 x_{}^{3} x3​

上述通过更容易确定精度的 B B B得出 A A A的精度为 m m m。因此，接下来需要对A进行展开，展开到 x m x^{m} xm ，并且不漏项，这有一定的难度。针对这个，我总结了下面3个技巧： 1.若A为" 函数 f − 函数 g 函数f-函数g 函数f−函数g"型： 比较简单，直接通过泰勒公式将函数f和函数g展开到所需精度即可（若某一个函数为多项式函数，则不用考虑展开）。如图1中题1.1所示：分子确定精度为4，需要展开到 x 4 x^{4} x4 。因此将 1 + x 2 \sqrt{1+x^{2}} 1+x2 ​ 展开至 x 4 x^{4} x4， p . s . p.s. p.s.前面是多项式函数，不用管。 2.若A含有" 函数 f × 函数 g 函数f×函数g 函数f×函数g"型： 有公式：左低+右高=精度；左高+右低=精度。 左低代表为左边函数展开最低项为 x 的多少次方（不考虑系数），右高代表为右边函数展开最高项为 x x x 的多少次方（不考虑系数），以此类推。根据公式，我们可以先展开左边函数和右边函数的第一项，得左低和右低，再根据公式，得到左边函数和右边函数应展开到x的多少次方（左高和右高），具体操作如下： 以图2右侧的易错点为例：展开 l n ( 1 + x ) l n ( 1 − x ) ln(1+x)ln(1-x) ln(1+x)ln(1−x) ，由于左边函数 l n ( 1 + x ) ln(1+x) ln(1+x) 和右边函数 l n ( 1 − x ) ln(1-x) ln(1−x) 展开的第一项都为 x x x （不考虑系数），所以左低和右低为1，根据公式，左高和右高都为3。因此 l n ( 1 + x ) ln(1+x) ln(1+x) 和 l n ( 1 − x ) ln(1-x) ln(1−x) 都要展开到含 x 3 x^{3} x3 ，即有正确解法。 3.若A含有"复合函数展开"型： 有公式：内低×外高=精度；内高×外低=精度。 内低表示内层函数展开最低为 x x x 的多少次方（不考虑系数），外高代表为外层函数展开最高项为 x x x 的多少次方（不考虑系数），以此类推。根据公式，我们可以先展开内层函数和外层函数的第一项，得内低和外低，再根据公式，得到内层函数和外层函数应展开到x的多少次方（内高和外高），具体操作如下： 例：将 l n ( 1 + s i n x ) ln(1+sinx) ln(1+sinx) 展开到精度为4。外层函数 l n ( 1 + x ) ln(1+x) ln(1+x) 最低为 x x x的一次方，根据公式，内高为4，即 s i n x sinx sinx 展开到 x x x 的四次方。故有： x → 0 ， s i n x ∼ x − x 3 3 ! + 0 ⋅ x 4 4 ! x\rightarrow 0，sinx\sim x-\frac{x^{3}}{3!}+0\cdot\frac{x^{4}}{4!} x→0，sinx∼x−3!x3​+0⋅4!x4​ ，同时反过来，内层函数最低也为x的一次方，根据公式，外层函数也需要展开到 x x x 的四次方。有： x → 0 ， l n ( 1 + x ) ∼ x − x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 x\rightarrow 0，ln(1+x)\sim x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4} x→0，ln(1+x)∼x−2x2​+3x3​−4x4​ ，此时带入复合，并将高于4次方的去除即有： x → 0 ， l n ( 1 + s i n x ) ∼ x − x 2 2 + x 3 6 − x 4 4 x\rightarrow 0，ln(1+sinx)\sim x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}-\frac{x^{4}}{4} x→0，ln(1+sinx)∼x−2x2​+6x3​−4x4​ 。 这或许还不足以发挥公式的威力，试着用公式解决下面这道难题。 到此为止！ 我是煜神学长，考研我们一起加油！！！

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