不知道大家在学习泰勒公式的时候，对泰勒公式和无穷小等价替换有没有很迷的时候，额，我有，在求极限的题目中，有的时候是可以使用无穷小等价替换，但是有的时候一用就错，但是一直都没有太纠结什么原因，一直以为是因为自己没有想到那一点，可能不用等价替换更加容易吗，今天终于有一个题目，让我想去百度一下计算极限的时候什么情况下可以用等价无穷小呢?

先来看一个例题： 设 lim ⁡ x → 0 ln ⁡ ( 1 + x ) − ( a x + b x 2 ) x 2 = 2 , 求 常 数 a , b ? \lim\limits_{x\rarr0}\frac{\ln(1+x)-(ax+bx^2)}{x^2}=2,求常数a,b? x→0lim​x2ln(1+x)−(ax+bx2)​=2,求常数a,b?

看到这个题目，我想到的就是把ln（1+x）直接等价为x，明显可以看出来，a=1，b=-2，我们都不用动笔，就看出来答案了，肯定有蹊跷，果不其然求出来就是错的，但是a的值是对的，我一想，我不去查一下，以后还会碰到，万一考场遇到，就是5分啊，分值这么庞大，吓得我赶紧百度了。答案用的就是泰勒公式展开，放一下泰勒公式 l n ( 1 + x ) = x − 1 2 x 2 + 1 3 x 3 + ∘ ( x 3 ) ln(1+x)=x-\tfrac{1}{2}x^2+\tfrac{1}{3}x^3+\circ(x^3) ln(1+x)=x−21​x2+31​x3+∘(x3) 因为是A-B型的，适用于“幂次最低原则”，应该有小伙伴不知道什么叫做“幂次最低原则”，就是，将A,B展开到它们的系数不相等的x的最低次幂，其实不用幂次最低原则，也能看出来展开到x的平方项就可以了，后面的高次项直接去掉，那么其实在本题中 l n ( 1 + x ) = x − 1 2 x 2 + ∘ ( x 3 ) ln(1+x)=x-\tfrac{1}{2}x^2+\circ(x^3) ln(1+x)=x−21​x2+∘(x3) 其实高阶无穷小也可以不用管，如果是选择，填空的话，这样算出来，a=1，b=-5/2，结果不一样的原因就是我用了等价无穷小，答案用的是泰勒公式展开，那么问题就出现在这里了。

大家百度一下等价无穷小的定义，如果用同济第七版课本，书上好像没有使用等价无穷小的条件： 第二条：被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。 额，问题就出在加减！！！只要在加减运算的时候就不能直接用等价无穷小替换，害，我一直迷迷糊糊，终于搞明白了，希望大家也不要犯错误了