写在前面的废话

2022年的第一篇文章

再来水一篇导数（反正没什么人看）

之后可能就不按照复习进度写文章了

直接看心情更内容（

毕竟我们数列已经结束了

跟着写文章工作量太大

事先声明：

本文中出现的所有放缩式均要现证现用！！！

本文中出现的所有放缩式均要现证现用！！！

本文中出现的所有放缩式均要现证现用！！！

一：切线放缩及其衍生放缩

首先贴出来几个常用的切线放缩

最好熟记并尽可能快的证明

由于切线放缩过于简单，有时候会无法适合我们的需要

这时候就需要进行适当的变形

这是14年全国一卷的导数压轴，标答采取的是凹凸反转的思路

这里进行构造放缩处理

像此类对指数共存的式子往往优先考虑放缩或同构

直接莽反而是最不明智的做法

二：根据需要构造切线放缩

事实上，切线放缩并非只有前文提到的那几个

函数在某些特殊点的切线也可以被我们用来放缩

下面就以21年新高考一卷导数来演示一下构造切线放缩

这个题目之前已经用比值代换+同构解决过了

在这里再拿出来鞭尸

上面的方法看似一时兴起，但如果自行尝试过构造切线放缩

就会发现其实一切都有一种水到渠成的感觉

三：高中阶段常见的几个泰勒展开式

1.利用泰勒展开直接放缩

在很多资料中泰勒展开式往往被神化成至高无上的“高级技巧”

但它对高中生来说实际上不过是几个稍微复杂的放缩式罢了

再深入的内容都是到大学之后的后话

这里只介绍较为常见的几个式子 如有兴趣请自行探索

用泰勒展开放缩和使用其他的放缩式一样

在这里随便拿出一道20年八省联考的改编题演示一下

泰勒展开在考场上现证不太明智

不是特别推荐使用

2.利用泰勒展开估值

泰勒展开不仅可以直接用来估值

利用泰勒展开推出的一个对数估值公式也是极其好用

这个式子可以说是高中范围内最好用的对数估值式了

而且有很强的规律性，方便记忆（不像高阶的帕德逼近那么膈应人）

像这种简单的估值问题，可以直接忽略前几问的明示暗示

直接掏出我们的公式硬估（别忘记证明就没事）

此处为了缩小范围还构建了一个上界

可以一起记下来以备不时之需

四：切线放缩的分式形式

切线放缩的大用武之地还在于它的分式形式

通过分式形式的切线放缩我们可以将函数的一部分转化为常数

从而达到简化问题的目的

下面就以19年天津卷导数为例

展示一下分式型切线放缩的威力

由于前两问略去，下面的过程可能会有些许别扭

建议自己做过一遍之后对比前两问再看

ps:上面这道题也能用对称化构造写，不过过程较长

如果能掌握放缩的方法尽量还是放缩解决

五：含参不等式中的局部放缩

部分含参不等式问题往往是采用隐零点的方式解决

但对于此类题来说局部放缩也是一种可行的方法

像上题这种一侧全为参数a的问题基本上都可以根据一侧形式拼凑放缩式

在这里解释一下如何想到上述放缩式的

首先要确保拼成两个有极小值的函数

然后观察右侧形式确定含指数项函数的极值点为x=lna/2

再经过拼凑即可得到g(x)和h(x)

六：对数均值不等式的简单应用

各位相比对对数均值不等式都不陌生

各种极值点偏移问题中常见它的身影

但其实一般的双变量问题也可以考虑用对数均值不等式进行放缩

在考试时直接证明1或2式即可完成对数均值不等式的左侧或右侧证明

下面展示它在一道普通的双变量问题中的应用

首先要想办法得到所有我们能够得到的条件

有了条件之后就要想办法用

对均虽然有时不能一步到位

但却能起到桥梁的作用

七：利用函数单调性放缩

有些情况下处理双变量问题或其它类型时也要考虑用某些函数的单调性进行放缩

此类题目较少，但往往具有一定的思维难度

如：

这道题目就要用到y=x-sinx的单调性进行放缩

（如有更好的办法敬请提出！）

得到放缩式后就要将已知向未知转化

在该题过程中还用到了对数均值不等式进行放缩

不论是从技巧性还是从套路性来说都可以算是一道好题

此外，对于此类问题采用分析法“执果索因”往往可以降低部分构造上的难度

使用分析法可以将最难想的一步构造放缩放在最后

大大降低了思维难度

本文到此就结束了

如果有任何建议/纠错敬请提出！

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