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泰勒（Brook Taylor）英国数学家，主要以泰勒公式和泰勒级数出名。

一、泰勒多项式与麦克劳林多项式

设函数f(x)在x0某邻域内有定义，并且在x0处有n阶导数，则称

为函数f(x)在x0处的n阶(次)泰勒多项式. 其中系数

称为f(x)在x0处的泰勒系数.

特别，如果x0=0时，称

为函数f(x)的n阶麦克劳林多项式.

二、泰勒中值定理与泰勒公式

定理(泰勒中值定理)如果函数f(x)在x0的某个邻域内具有直到n+1阶导数，则对邻域内任一点x，至少存在介于x0与x之间的一点ξ，使得

该公式也称为带拉格朗日余项的泰勒公式，其中ξ也可以表示成

三、带皮亚诺余项的泰勒公式

如果函数f(x)在x0处具有直到n阶导数，则存在x0的一个邻域，对于该邻域内任一x，有

此公式称为带皮亚诺余项的n阶泰勒公式.

【注】以上两个公式当x0=0时，分别称为n阶带拉格朗日余项的麦克劳林公式和带皮亚诺余项的麦克劳林公式，即有

四、泰勒公式的意义及使用原则

泰勒公式解决了用微分近似计算函数值或函数值增量精度不高问题；提供了误差的估计公式，并可实现对误差的有效控制.

【注1】函数f(x)在x=x0的n阶导数存在，则可以写出该函数在x=x0处的n次泰勒多项式，但是泰勒多项式不一定会随着n的增加逐渐逼近函数在x处的函数值.

【注2】只要存在常数C>0使当x∈(a,b)时，恒有

|f(n+1)(x)|≤C(n=0,1,2,…)

则用n次泰勒多项式Pn(x)来近似代替f(x)时，余项的绝对误差|Rn(x)|(x∈(a,b))随n的增大可变得任意小. 对于初等函数而言，在任意定义区间上一般都满足这个条件，所以对应的泰勒多项式可以满足这个要求.

【注3】记住几个基本初等函数的带拉格朗日余项的泰勒公式和麦克劳林公式，其他的常见初等函数的在任意点的泰勒公式，一般都可以基于等式恒等，公式唯一的间接法来获得相应的泰勒公式.

五、常用的几个麦克劳林公式

带拉格朗日余项的麦克劳林公式

带皮亚诺余项的麦克劳林公式

【注1】一般在应用中都使用麦克劳林公式，因为一般位置的泰勒公式通过平移变换可以转换为麦克劳林公式描述.

【注2】借助泰勒公式，可以计算函数在指定点的任意阶导数，即有

六、计算函数泰勒公式的方法与典型题

1. 直接法

(1)计算n阶带拉格朗日余项的泰勒公式，直接求函数在x0的1~n+1阶导数，然后由公式

代入各阶导数值，直接写出泰勒公式.

(2)计算n阶带皮亚诺余项的泰勒公式，直接求函数在x0的1~n阶导数，然后由公式

代入各阶导数值，直接写出泰勒公式.

【注】计算麦克劳林公式即为x0=0处的泰勒公式. 该方法适合于所求阶数较低，函数不方便描述为具有以上几个已知泰勒公式的初等函数结构，或者函数求导结果具有一定规律的问题，比如上面几个基本初等函数的麦克劳林公式的计算.

例1 求f(x)=secx的三阶带皮亚诺余项的麦克劳林公式.

【分析】该函数不好直接描述为以上五个函数，即sinx, cosx, ex, ln(1+x), (1+x)a的结构，所以使用直接法计算系数来获取相应的麦克劳林公式，由于要计算三阶带皮亚诺余项的麦克劳林公式，所以要求x0=0处的函数值及三阶导数值，于是有

所以有

【注1】由于secx是偶函数，所以在计算导数的过程中也只需要计算偶数阶导数，奇数阶导数肯定为0.

【注2】对于抽象函数一般使用直接法.

例2(1996年数学一(199607)) 设f(x)在[0,1]上具有二阶导数，且满足条件

|f(x)|≤a, |f’’(x)|≤b.

其中a,b都是非负常数，c是(0,1)内任意一点.

(1)写出f(x)在点x=c处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式；

(2)证明|f’(x)|≤2a+b/2.

【分析】首先，这是一个抽象函数的泰勒公式计算问题，并且在x=c处各阶导数都无法直接计算出，所以只能用抽象函数的导数描述形式描述，于是直接由泰勒公式定义形式，有

其中ξ=c+θ(x-c),0 /阅读下一篇/ 返回网易首页 下载网易新闻客户端