本篇内容为泰勒公式和麦克劳林公式，主要用于近似计算，还是先搞个引入吧。

f(x)在x=x0的邻域内n+1阶可导（包含x=x0）。现在用一个n次多项式Pn(x)近似的表示f(x) Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+…+an(x-x0)n Pn(x)的项数越多次数越高则值越精确，与f(x)越接近，可以理解成Pn(x)每多一项就做一次修正。

那么Pn(x)应该满足什么样的条件呢？ Pn(x0)=f(x0) 既然近似，二者在x=x0这一点的函数值应该相等，不然误差太大了 Pn’(x0)=f’(x0) Pn’’(x0)=f’’(x0) …… Pn(n)(x0)=f(n)(x0) 同理，Pn(x)和f(x)在x=x0处的一阶导数和高阶导数应该相等，表示二者离散的速度非常慢，从图像上看，二者应该几乎重合。

下面开始处理这个多项式 代入x=x0，Pn(x0)=a0=f(0)

所以Pn(x)就应该是这个样子的 处理近似 很明显可以知道Pn(x)和f(x)之间是有误差的对吧,Pn(x)是个多项式，说的在明白一点，就算经过多次修正，用一个不是f(x)的东西去表示f(x)一定会存在误差的。这个误差成为余项,定义为Rn(x)

f(x)可以表示为多项式和余项（误差）之和即f(x)=Pn(x)+Rn(x) Rn(x)则可以表示为Rn(x)=f(x)-Pn(x)

正文开始 😆

定理1 若f(x)在x=x0邻域内n+1阶可导 则f(x)可以表示为f(x)=Pn(x)+Rn(x)，其中Pn(x)表示如下 Rn(x)表示如下

证明 先梳理一下已知条件 上述条件必然是成立的，因为就是用这些限制条件找到的Pn(x) 开始证明（作者写完的时候看着也头皮发麻，没事 慢慢看） 定理2 若f(x)在x=x0邻域内n阶可导 则f(x)可以表示为f(x)=Pn(x)+Rn(x)，其中Pn(x)表示如下 Rn(x)是(x-x0)n的高阶无穷小 证明 还是先梳理已知条件 Pn(x)长成这个鬼样子，一定满足以下条件 根据无穷小的比较层次，Rn(x)是(x-x0)n的高阶无穷小，即 Lagrange型余项和Peano型余项 5句话

这一块内容很好理解 啥是Maclaurin公式？ f(x)=Pn(x)+Rn(x) 多次重复，加强记忆 当x0=0时,Taylor公式就变成Maclaurin公式了，那么Maclaurin公式中的多项式Pn(x)就应该是这个样子的 余项的使用条件还是一样的

常用的麦克劳林公式

例1 例2 例3 例4

好了 本篇内容宣告完结，是不是感觉终于完了？鉴于本篇内容较多，作者在写的时候已经尽量精简了，本篇没有总结部分，如果理解有困难，就多看几遍吧。